Folgerungen aus dem Archimedischen Axiom

Question

gegeben sei ein geordnete Körper zusammen mit dem Archimedischen Axiom welches lautet "Zu je zwei reellen Zahlen \(x,y > \) existiert eine natürliche Zahl \( n \) mit \( nx > y\).

Bewiesen wurde bis jetzt, dass es zu jeder reellen Zahl \(x \) natürliche Zahlen \(n_1 \) und \( n_2 \) gibt, so dass \( n_1 > x \) und \( -n_2 < x \).

Daraus sollte folgen, dass es zu jedem \( x \in \mathbb{R} \) eine eindeutige bestimmte ganze Zahl \( n \in \mathbb{Z} \) mit \( n \le x < n+1 \) gibt.

Kann mit jemand bitte bei der letzten Aussage helfen?

Answer 1

Sagen wir \(x>0\). Dann gib es \(m\in\mathbb{N}\) mit \(m\cdot1>x\). Sollte es mehere solche \(m\) geben (gibt es natuerlich), dann waehlen wir \(m\) minimal (Wohlordnungsprinzip). Den Rest darfst Du ergaenzen.

Comments

Wohlordnungsprinzip kenne ich nicht. Es geht um einen archimedisch angeordnet Körper.

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Gast be1255, ich wollte noch sagen, so wie Du das vorgeschlagen hast, würde ich auch erst mal machen. Die Frage ist, ob ich davon ausgehen kann, dass ich es darf oder brauche ich diesen Ansatz bei nem archimedisch angeordneten Körper nicht und es geht anders alleine mit den Axiomen?

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Wenn Du das Wohlordnungsprinzip (fuer natuerliche Zahlen) nicht kennst, dann schlag es nach. Es gehoert zur absoluten Grundausstattung und besagt, dass jede Menge natuerlicher Zahlen ein kleinstes Element hat. Beweise es notfalls selber (mit vollstaendiger Induktion).

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Ok, danke! Damit habe ich schon gearbeitet, ist nichts neues. Leider wusste ich nur nicht, dass der Autor das an dieser Stelle von mir erwartet.