Verkettung: Wie rechnet man weiter?

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle g: \; R^{+} \rightarrow R \quad, \quad g(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x+1}} \\ f: \;R \backslash\{0\} \rightarrow R \quad, \quad f(x)=\frac{1}{x^{2}}  \)

Ich soll g nach f verketten.

Problem/Ansatz:

\(\displaystyle (g \circ f)(x)=g\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=\sqrt{\frac{\frac{1}{x^{2}}+2}{\frac{1}{x^{2}}+1}}=\sqrt{\left(\frac{1}{x^{2}}+2\right):\left( \frac{1}{x^{2}}+1\right)} \)

Es soll \( \sqrt{\frac{1+2x^{2}}{1+x^{2}}} \) herauskommen. Wenn ich mein Zwischenergebnis in Wolfram eingebe, dann kommt als eine alternative Form das Ergebnis raus, aber er gibt mir nicht die Möglichkeit für eine Schritt für Schritt Lösung. Könntet ihr mir bitte erklären, wie man jetzt weiterrechnet?

Comments

Die letzte Umformung mit dem Doppelpunkt ist überflüssig (und ohne Klammern sogar falsch), nur eine andere Schreibweise, die es unübersichtlicher macht.

In dem Ausdruck davor erweiterst Du den Bruch einfach mit x² und bist fertig.

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Bilde den Hauptnenner in Zähler und Nenner. x^2 kürzt sich dann raus.

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Es muss auch der Definitionsbereich und es kann auch der Bildbereich angegeben werden.

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Meint ihr, dass aus \( \sqrt{\frac{\frac{1}{x^{2}}+1}{\frac{1}{x^{2}}+2}} \)

dann

\( \sqrt{\frac{\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}}}} \)

wird?

Wäre \( x^{2} \) das der Hauptnenner? Oder wie meint ihr das mit dem erweitern.

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Nein, das ist falsch.

Erweitern heißt Zähler und Nenner mit demselben Faktor multiplizieren, das kann auch eine Variable sein. Das ist das Gegenteil von Kürzen. Schau elementare Bruchrechnung nach!

\( \frac{2}{3} \) = \( \frac{4}{6} \) (erweitert mit 2)

hier erweitern mit x²

\( \begin{array}{l}\sqrt{\frac{\frac{1}{x^{2}}+2}{\frac{1}{x^{2}}+1}}=\sqrt{\frac{\left(\frac{1}{x^{2}}+2\right) \cdot x^{2}}{\left(\frac{1}{x^{2}}+1\right) \cdot x^{2}}}  =\sqrt{\frac{1+2 x^{2}}{1+x^{2}}}\end{array} \)

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Danke, für die Visuelle Darstellung! Jetzt habe ich Verstanden, wie das gemeint war. Das man mit auch mit Variablen erweitern kann wäre mir niemals eingefallen.

Answer 1

Wie rechnet man weiter?

\(\displaystyle \sqrt{\frac{ \frac{1}{x^{2}}+2}{\frac{1}{x^{2}}+1}}= \sqrt{\frac{\frac{1}{x^{2}}+2}{\frac{1}{x^{2}}+1}\;\underbrace{\; \cdot \left(\frac{x^2}{x^2}\right)}_{\normalsize \cdot \; 1}}=\sqrt{\frac{1+2x^{2}}{1+x^{2}}} \)

Mit 1 darf man immer multiplizieren. Dass x ≠ 0 ist in der Aufgabe bereits geregelt.

Answer 2

Du kannst nicht erwarten, dass es richtig ist, wenn Du 1 durch 1/x² ersetzt.

Bei Doppelbrüchen multipliziere generell mit den in Zähler und Nenner auftretenden Nennern. Der ist hier derselbe. Das nennt man auch "erweitern". Danach steht Dein gewünschtes Ergebnis sofort da.

Wiederhole Aufgaben zur Bruchrechnung, bevor Du in fortgeschrittenen Themen vorangehst.

Answer 3

Aloha :)

Ich würde zunächst die Funktion \(g\) so vereinfachen, dass sie möglichst wenige "x" enthält, damit das spätere Ersetzen \(x\mapsto\frac{1}{x^2}\) einfacher ist:$$g(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x+1}}=\sqrt{\frac{(x+1)+1}{x+1}}=\sqrt{1+\frac{1}{x+1}}$$

Nun kannst du die Verkettung \(x\mapsto\frac{1}{x^2}\) leicht durchführen:$$(g\circ f)(x)=\sqrt{1+\frac{1}{\frac{1}{x^2}+1}}=\sqrt{1+\frac{\pink{x^2}\cdot 1}{\pink{x^2}\cdot\left(\frac{1}{x^2}+1\right)}}=\sqrt{1+\frac{x^2}{1+x^2}}$$

Das kannst du auch wieder mit möglichst wenigen "x" schreiben:$$(g\circ f)(x)=\sqrt{1+\frac{(\pink{1+}x^2)\pink{-1}}{1+x^2}}=\sqrt{1+1-\frac{1}{1+x^2}}=\sqrt{2-\frac{1}{1+x^2}}$$