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Zuwachs des Kapitalstocks in 5 Jahren bei einer Investitionsrate von I(t)=3,9⋅t0,3
Um den Zuwachs des Kapitalstocks in 5 Jahren zu berechnen, benötigen wir die Integralrechnung. Das liegt daran, dass die Investitionsrate
I(t) über einen bestimmten Zeitraum, in diesem Fall 5 Jahre, integriert wird, um die gesamte Änderung des Kapitals über diesen Zeitraum zu erfassen.
Die Investitionsrate ist gegeben durch
I(t)=3,9⋅t0,3. Um den Gesamtzuwachs des Kapitalstocks über 5 Jahre zu berechnen, integrieren wir
I(t) über das Intervall von 0 bis 5 Jahre.
Die Formel für das Integral lautet:
Zuwachs des Kapitalstocks=∫053,9⋅t0,3dt
Um dieses Integral zu lösen, verwenden wir die allgemeine Formel für die Integration einer Funktion der Form
tn, welche lautet:
∫tndt=n+1tn+1+C
In unserem Fall ist
n=0,3, also lösen wir das Integral wie folgt:
∫053,9⋅t0,3dt=3,9⋅0,3+1t0,3+1∣∣∣∣∣05
Das vereinfacht sich zu:
3,9⋅1,3t1,3∣∣∣∣∣05=1,33,9⋅t1,3∣∣∣∣∣05
Noch weiter vereinfacht zu:
3⋅t1,3∣∣∣∣∣05
Jetzt setzen wir die Grenzen ein:
3⋅(51,3−01,3)
Da
01,3=0, lautet unsere Gleichung:
3⋅51,3
5 hoch 1,3 ergibt ungefähr:
3⋅(51,3)≈3⋅9,513=28,539
Der Zuwachs des Kapitalstocks über einen Zeitraum von 5 Jahren bei einer Investitionsrate von
3,9⋅t0,3 ist somit ungefähr 28,539 Einheiten.