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Aufgabe:

Berechnen Sie den Zuwachs des Kaptialstocks in 5 Jahren bei einer Investitionsrate von:

I(t)= 3,9 * t0,3

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Zuwachs des Kapitalstocks in 5 Jahren bei einer Investitionsrate von I(t)=3,9t0,3I(t) = 3,9 \cdot t^{0,3}

Um den Zuwachs des Kapitalstocks in 5 Jahren zu berechnen, benötigen wir die Integralrechnung. Das liegt daran, dass die Investitionsrate I(t)I(t) über einen bestimmten Zeitraum, in diesem Fall 5 Jahre, integriert wird, um die gesamte Änderung des Kapitals über diesen Zeitraum zu erfassen.

Die Investitionsrate ist gegeben durch I(t)=3,9t0,3I(t) = 3,9 \cdot t^{0,3}. Um den Gesamtzuwachs des Kapitalstocks über 5 Jahre zu berechnen, integrieren wir I(t)I(t) über das Intervall von 0 bis 5 Jahre.

Die Formel für das Integral lautet:

Zuwachs des Kapitalstocks=053,9t0,3dt \text{Zuwachs des Kapitalstocks} = \int_{0}^{5} 3,9 \cdot t^{0,3} \, dt

Um dieses Integral zu lösen, verwenden wir die allgemeine Formel für die Integration einer Funktion der Form tnt^n, welche lautet:

tndt=tn+1n+1+C \int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C

In unserem Fall ist n=0,3n = 0,3, also lösen wir das Integral wie folgt:

053,9t0,3dt=3,9t0,3+10,3+105 \int_{0}^{5} 3,9 \cdot t^{0,3} \, dt = 3,9 \cdot \frac{t^{0,3+1}}{0,3+1} \bigg|_{0}^{5}

Das vereinfacht sich zu:

3,9t1,31,305=3,91,3t1,305 3,9 \cdot \frac{t^{1,3}}{1,3} \bigg|_{0}^{5} = \frac{3,9}{1,3} \cdot t^{1,3} \bigg|_{0}^{5}

Noch weiter vereinfacht zu:

3t1,305 3 \cdot t^{1,3} \bigg|_{0}^{5}

Jetzt setzen wir die Grenzen ein:

3(51,301,3) 3 \cdot (5^{1,3} - 0^{1,3})

Da 01,3=00^{1,3} = 0, lautet unsere Gleichung:

351,3 3 \cdot 5^{1,3}

5 hoch 1,3 ergibt ungefähr:

3(51,3)39,513=28,539 3 \cdot (5^{1,3}) \approx 3 \cdot 9,513 = 28,539

Der Zuwachs des Kapitalstocks über einen Zeitraum von 5 Jahren bei einer Investitionsrate von 3,9t0,33,9 \cdot t^{0,3} ist somit ungefähr 28,539 Einheiten.
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