Herleitung für senkrechter Vektoranteil

Question

Erstmal vorab ich bin neu hier und kenne mich noch nicht so gut aus hier. Auf jeden Fall brauche ich eure Hilfe. Bei dem Aufgaben Teil b) wird nach einer Herleitung von dem senkrechten Anteil des Verkrors v gefragt. Ich hab mir die letzte Woche jeden Tag die Aufgabe bestimmt 3 mal angeguckt.
Mein Probelm ist, dass ich den Zusammenhang mit dem Sinus und dem Einheitsvektor, der um Π2 gedreht ist nicht erkenne.

Über Hilfe wäre ich echt sehr dankbar, da Montag Abgabe ist :-)

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aus Duplikat:

ich kriege diese Aufabe leider garncht hin, wenn jemand eine Lösung weiß wäre ich echt dankbar. Es muss auch nicht perfekt sein.

Aufgabe:

Es gibt die Vektorkoordinaten:  "ex, ey, vx, vy" , dabei handelt es sich um postive Zahlen

der Einheitsvektor E= (ex,ey) und   der V Vektor v= (vx,vy)

Es soll gezeigt werden, das   v orthogonal = (sin (Winkel von (E und V)* |v|*(-ey,ex)

Dazu stellt sich die Frage, ob diese Gleichung erfüllt sein  muss oder nicht :  vy/vx>= ey/ex

Das hat warhscheinlich mit den Skalarprodukt zutun, habe diese Formel auch schon umgestellt, aber komme ehrlich auf nichts.

Danke für die Hilfe

Comments

v orthogonal = (sin (Winkel von (E und V)* |v|*(-ey,ex)

Das ergibt keinen Sinn.

v kann nicht orthogonal sein, da Orthogonalität eine Eigenschaft eines Paares von Vektoren ist.

In (sin (Winkel von (E und V)* |v|*(-ey,ex) fehlen zwei schließende Klammern.

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sry, dann habe ich die Klammern vergessen, falls es jetzt einen Sinn macht könntest du es etwas erläutern würde mir echt helfen

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hh1866: Du bist der, der erst mal angeben sollte, wo diese Klammern den hingehören.

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Achso, sry dann hatte ich das falsch verstanden

hier ein Bild dazu

Ich hoffe das man mir so helfen kann :)

Answer 1

Hi,
Du kannst den Vektor \( \vec{v}\) in einen Vektor parallel zu \( \vec{e} \) und in einen Vektor senkrecht zu \( \vec{e} \) zerlegen. Das sieht dann so aus
$$ (1) \quad \vec{v} = \alpha \vec{e} +\beta \vec{e_\bot} $$ mit noch zu bestimmenden Größen \( \alpha \) und \( \beta \).
Durch Skalaramultiplikation von (1) mit \( \vec{e} \) bzw. \( \vec{e_\bot} \) ergibt sich
$$ (2) \quad \left( \vec{v},\vec{e} \right) =\alpha $$ und
$$ (3) \quad \left( \vec{v},\vec{e_\bot} \right) =\beta $$ und der Vektor \( \vec{e_\bot} \) ergibt sich aus \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \times \vec{e} = \begin{pmatrix} -e_y\\e_x\\0 \end{pmatrix}\)
Insgesamt also
$$ (4) \quad \vec{v} = \left( \vec{v},\vec{e} \right) \vec{e} + \left( \vec{v},\vec{e_\bot} \right) \begin{pmatrix} -e_y\\e_x \end{pmatrix}  $$
Weiter gilt \( \left( \vec{v},\vec{e_\bot} \right) = |v| \cos\left( \vec{v},\vec{e_\bot} \right) \) und \( \left( \vec{v},\vec{e} \right) = |v| \cos\left( \vec{v},\vec{e} \right) \) also
$$ (5) \quad \vec{v} = |v| \cos\left( \vec{v},\vec{e} \right) \vec{e} + |v| \cos\left( \vec{v},\vec{e_\bot} \right) \begin{pmatrix} -e_y\\e_x \end{pmatrix} $$
Wegen \( \measuredangle \left( \vec{v},\vec{e} \right) + \measuredangle \left( \vec{v},\vec{e_\bot} \right) = 90° \) gilt \( \cos\left( \vec{v},\vec{e_\bot} \right) = \sin \left( \vec{v},\vec{e} \right) \)
Damit ergibt sich \( \vec{v} \) zu 
$$ (6) \quad \vec{v} = |v| \cos\left( \vec{v},\vec{e} \right) \begin{pmatrix} e_x\\e_y \end{pmatrix} + |v| \sin\left( \vec{v},\vec{e} \right) \begin{pmatrix} -e_y\\e_x \end{pmatrix}  $$
Der zweite Summand ist der senkrechte Anteil von \( \vec{v} \) zu \( \vec{e} \) wie in der Aufgabe beschrieben.

Comments

Das ist echt ziemlich genial :) Aller aller besten dank !!

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das ist sehr toll, ich frage mich nur wie es jetzt mit der Bedingung aussieht?

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Also so weit ich es sehe, habe die bedingung nirgends ausgenutzt. Die Bedingung lautet ja \( \vec{e} \times \vec{v} \ge 0 \)