Vollst. Ind. klappt nicht

Question

ich hab mich gerade angemeldet, weil ich wirklich vor dem verzweifeln bin.

Ich soll mittels vollständiger Induktion beweisen dass für ale n ∈ ℕ gilt:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ (3k-1)k\quad =\quad { n }^{ 2 } } (n+1)$$

Also Ind.anf.: mit n=1 für

$$\sum _{ k=1 }^{ 1 }{ (3k-1)k }$$

= (3*1-1)*1 =2

und für n²(n+1) = 1(1+1) = 2

ok schön als nächstes der Induktionsschritt:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ (3k-1)k\quad \quad +\quad (3(n+1)-1)\times (n+1) }$$

und da für die linke Seite n²(n+1) gilt komm ich auf

$${ n }^{ 2 }(n+1)+(3n+2)(n+1)$$

und dass muss jetzt irgendwie $${ (n+1) }^{ 2 }(n+2)$$ ergeben,

da ich ja den rechten Teil der Gleichung mit (n+1) erweitern muss.

Nur probier ich hier schon ewig rum aber ich komm einfach nicht drauf.

darum bitte ich um Hilfe !

Answer 1

klammere $n+1$ aus und erhalte$$\quad n^2(n+1)+(3n+2)(n+1)=(n^2+3n+2)(n+1)$$$$=(n+1)(n+2)(n+1)=(n+1)^2(n+2).$$

Comments

danke für die schnelle Antwort :) !

Answer 2

$${ n }^{ 2 }(n+1)+(3n+2)(n+1)$$ 

Klammere aus. Dann bleicbt dir ein quadratisches Polynom. Suche dessen Linearfaktoren, im Zweifelsfall per Mitternachtsformel.

Dann steht da was dastehen soll.