Vollst. Induktion Ableit.

Question

die Aufgabe ist

"Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die Ableitungsregel f(x)=xⁿ →f⁽ⁿ⁾ (x)=n!

Hinweis: Stellen Sie (n+1)-te Ableitung als n-te Ableitung der ersten Ableitung dar!"

Mir ist das Prinzip der vollständigen Induktion bekannt, ich weiß aber nicht wie ich anfangen soll. Also ausm Gefühl heraus würde ich behaupten ich beginne erst einmal ganz normal mit n=1, dann mit n=k und dann mit n=n+1.

Nur leider scheitert es schon am Verständnis der Aufgabe.

!

Answer 1

Also die Aussage ist ja z.B. dass die 7.Ableitung von x^7 einfach nur die

Zahl 7! ist, also kein x mehr enthält. Da die Exponenten bei jeder Ableitung immer

um 1 kleiner werden ist das ja auch klar. Mit Induktion wohl unter

Verwendung des Tipps so zu beweisen:

f(x) = x^1 ==>  f ' (x) = 1 = 1!  stimmt also für n=1.

Angenommen es gilt für alle Werte von 1 bis n , dann hat man bei

f(x)=x^(n+1)  jedenfalls f ' (x) = (n+1)*x^n. Das ist die erste Ableitung.

Davon die n-te Ableitung wäre ( (n+1)*x^n )⁽ⁿ⁾ =

(Faktoren kann man beim Ableiten rausziehen.)

   =     (n+1) * (x^n)⁽ⁿ⁾ 

Jetzt hat man die n-te Ableitung von x^n , die ist nach

Induktionsannahme aber n!, also hat man

       = (n+1) * n! =  (n+1)!     q.e.d

Comments

Okay super, jetzt hab ich es geblickt. Danke für deine ausführliche Erklärung :D