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Gesucht ist eine Formel, um die Koordinaten (x/y) des Punktes p welches sich in einem Dreieck befindet herauszufinden.

Gegeben:
- Ein Dreieck (Koordinaten aller Eckpunkte sind bekannt).
- Die Abstände des Punktes zu den einzelnen Eckpunkten.

Ergänzende Frage: Ich bin mir nicht sicher ob das Dreieck besondere Kriterien (gleich schenklig,...) erfüllen muss damit die Aufgabe lösbar ist.

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die erste Lösung - wahrscheinlich nicht die einfachste - die mir dazu einfällt ist:

3 Kreisgleichungen mit den jeweiligen Abständen als Radius um den jeweiligen Eckpunkt aufstellen.

2 Kreisgleichungen gleichsetzen. Es kann 0,1 oder 2 Lösungen geben. Falls es 0 gibt, gibt es den gesuchten Punkt nicht. Bei 1 liegt er auf der Seite, die die Punkte verbindet. Falls es 2 gibt, muss mit der 3. Kreisgleichung geprüft werden, welche Lösung stimmt.

Gruß

Danke für die Hilfe,
Kreisgleichungen muss ich mir erstmal ansehen um zu verstehen was du geschrieben hast.

Wie schon unten kommentiert. Die Lösung von Wolfgang ist leichter und besser zu erklären. Einfach Punkt Punkt Abstand mit Hilfe von Pythagoras im n-Dimensionalen Raum. Er hat es für n = 3 dargestellt. Du brauchst ja nur n = 2.

Aus dem Bauch heraus würde ich jedoch sagen, dass es im Endeffekt auf das gleiche hinausläuft. Du hast im 2D Raum eben 0-2 Lösungen bei quadratischen Gleichungen. Er hat das ja für 3D ähnlich beschrieben.

1 Antwort

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Gegeben: 
- Ein Dreieck (Koordinaten aller Eckpunkte sind bekannt): A,B, C 
- Die Abstände des Punktes zu den einzelnen Eckpunkten: dA , dB , dC 

Der Punkt P muss folgende Gleichungen erfüllen:

(a1 - p1)2 + (a2 - p2)2 + (a- p3)2  =  dA

(b1 - p1)2 + (b2 - p2)2 + (b- p3)2  =  dB 

(c1 - p1)2 + (c2 - p2)2 + (c- p3)2  =  dC 

mit den drei Unbekannten  p1, p2 und p3 

Da hier drei Kugeloberflächen einen gemeinsamen Punkt haben müssen, ist eine Lösung nicht gesichert. 

Hat man eine solche ggf. berechnet, muss man noch prüfen, ob P in der Ebene ABC liegt.

Wenn nicht, gibt es zwei Lösungen für P außerhalb des Dreiecks.

Gruß Wolfgang

 

Avatar von 86 k 🚀

Hallo und danke für die Hilfe,
ich bin etwas wegen dem a3/b3/c3 verwirrt. Es handelt sich hier um einen 2D Problem (deswegen hatte ich x und y in klammern geschrieben bzw. z ausgelassen) wurde ich missverstanden oder hab ich die Antwort falsch verstanden weil ich inzwischen zulange dran sitze und nicht mehr richtig denken kann.

Im 2D Fall sind einfach alle 3-Koordinaten = 0 und fallen einfach weg, also einfach nur:

(a1 - p1)2 + (a2 - p2)2  =  dA2 usw.

Ich glaube Wolfgang hat die Quadrate über den Abstanden vergessen.

Btw. die Lösung ist defintiv leichter als mein Vorschlag :-).

Vielen dank das bringt mich um einiges weiter

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