gegeben sei die Funktion
$$f:[0,1]\to\mathbb{R}, f(x) = \int_0^x e^{t^2} dt.$$
Außerdem seien $$0\leq x_0<x_1<...<x_n\leq 1$$
äquidistante Stützszellen mit Schrittweite
$$h:=x_i-x_{i-1}.$$
Man betrachte dazu ein quadratisches Lagrange-Interpolationspolynom p ∈ P2. Die Frage lautet nun:
Wie viele äquidistante Stützstellen sind notwendig, damit der Interpolationsfehler höchstens 10-6 beträgt?
Ich habe die folgende Formel:
$$f(x)-p(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{j=0}^n (x-x_j).$$
Da das Polynom p 2.Ordnung ist, kann ich f bis zur 3. Ableitung berechnen, d.h.
$$f'''(x)=2e^{x^2}(1+2x^2),$$
und diese kann man durch 6e abschätzen (Dies wurde in der ersten Teilaufgabe berechnet.) D.h.
$$f(x)-p(x) \leq \frac{6e}{3!}(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) = e(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).$$
Wie kannich es nun weiter berechnen?
