Schneiden von zwei Winkelsymmetralen in Parameterdarstellung

Question

Hallo wie kann ich die zwei Winkelsymmetralen schneiden?

1.) B+t*((C-B)/a+(A-B)/c)

2.) A+t*((C-A)/b+(B-A)/c)

Und wie kann ich zeigen, dass der Schnittpunkt auf der dritten winkelsymmetrale liegt?

Answer 1

1.) B+t*((C-B)/a+(A-B)/c)

2.) A+t*((C-A)/b+(B-A)/c)

Du musst erst mal einen der Parameter "umtaufen" also etwa

s statt t , hast dann also

1.) B+s*((C-B)/a+(A-B)/c)

2.) A+t*((C-A)/b+(B-A)/c)

Dann gleichsetzen

B+s*((C-B)/a+(A-B)/c) = A+t*((C-A)/b+(B-A)/c)

und etwas rechnen

(B - A) + s/a * ( C - B ) + s/c * ( A - B )  =  t/b * ( C - A ) + t / c * ( B - A )

nun ist ja  C - B = C - A + A - B = ( C - A ) + ( A - B )  also

(B - A) + s/a * (  ( C - A ) + ( A - B )  ) + s/c * ( A - B )  =  t/b * ( C - A ) + t / c * ( B - A )
(B - A) + s/a *  ( C - A ) + s / a *  ( A - B )  + s/c * ( A - B )  =  t/b * ( C - A ) + t / c * ( B - A )  
(B - A)  - s / a *  ( B - A )  - s/c * ( B  - A ) + s/a *  ( C - A ) =  t/b * ( C - A ) + t / c * ( B - A )  
(B - A)  - s / a *  ( B - A )  - s/c * ( B  - A )  - t / c * ( B - A )=  t/b * ( C - A )    - s/a *  ( C - A )
( 1 -s/a - s/c - t/c ) * (B - A ) = ( t/b - s/a ) * ( C - A )
Da  B - A und  C - A linear unabhängig sind ( so wäre es kein Dreieck)
sind die Klammern gleich 0
1 -s/a - s/c - t/c = 0         und     t/b - s/a = 0
                                                      t = s*b/a
1 -s/a - s/c - s*b/(ac) = 0
s = ac / ( a+b+c)            und  t = bc / (a+b+c)

Das in die ursprünglichen Gleichungen einsetzen gibt eine
Darstellung des Schnittpunktes.

Und dann noch zeigen, dass dieser Punkt auch auf der 3. Winkelhalbierenden
liegt.

Comments

Hallo danke für deine Hilfe :) 

Kann ich da einfach gleichsetzten um das zu zeigen? Weil dann kommt was komisches raus

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setze doch z.B. das t in die 2. Gleichung ein, dann hast du

A+ (c / (a+b+c)) *(C-A)+(b / (a+b+c))* (B-A)

und das setzt du mit der Gleichung der 3. Winkelhalbierenden gleich,

und rechnest den Parameter aus.