Unbekannte im Exponenten. Gleichung lösen: 10633.78916 * 1.062^n = 804 * 1.062 * (1.062^n - 1) / 0.062

Question

Wie löse ich diese Gleichung

10633.78916 * 1.062^n = 804 * 1.062 * (1.062^n  - 1) / 0.062

Answer 1

Ein langer Weg: 

10633.78916 * 1.062^n = 804 * 1.062 * (1.062^n - 1) / 0.062     | * 0.062

10633.78916 * 1.062^n * 0.062 = 804 * 1.062 * (1.062^n - 1) 

659.29492792 * 1.062^n = 853.848 * (1.062^n - 1)    | :853.848

0.77214554337540171 * 1.062^n = (1.062^n - 1)     | :1.062^n

0.77214554337540171 = (1.062^n - 1) / 1.062^n

0.77214554337540171 = 1.062^n 1.062^n - 1 / 1.062^n

0.77214554337540171 = 1 - 1 / 1.062^n    | -1

0.77214554337540171 - 1 = - 1 / 1.062^n

0.77214554337540171 - 1 = - 1 / 1.062^n

-0.22785445662459829 = -1/1.062^n

0.22785445662459829 = 1/1.062^n      | Kehrwert

1 / 0.22785445662459829 = 1.062^n    | ln

ln( 1 / 0.22785445662459829 ) = ln(1.062^n)

ln( 1 / 0.22785445662459829 ) = n * ln(1.062)   | : ln(1.062)

ln( 1 / 0.22785445662459829 ) / ln(1.062) = n

n ≈ 24,58773

Siehe auch Videos zu Logarithmus.

Answer 2

Numerisch n ≈ 24.5877265

Comments

Tatsächlich ist ein numerisches Verfahren hier nicht nötig, vgl. meine Antwort.

Answer 3

Hi,
die Gleichung hat die Form $$ a b^n = \frac{c b (b^n-1)}{d} $$ mit
\( a = 10633.78916 \), \( b = 1.062 \), \( c=804  \) und \( d = 0.062 \)

Das nach \( b^n \) aufgelöst gibt $$ b^n = \frac{c b}{c b - a d} $$
Daraus folgt dann $$ n \log(b) = \log\left( \frac{c b}{c b - a d} \right) $$

Answer 4

Tipp: In solchen Fällen sollte man substituieren.

Substituiere: 1,062^n = z

Damit kann man bequemer lösen.