In meinem Papula steht das ja einmal unter Quotientenkriterium und unter Konvergenzradius???
Das Quatientenkriterium gilt allgemein für Reihen mit den Folgengliedern cn. bei | c_n+1 / c_n | ≤ q <1 ist die Reihe absolut konvergent.
Konvergenzradius bezieht sich auf die Konvergenz einer Potenzreihe mit den Summanden
an(x - xo)n
Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius
Hier ist c_n = an(x-xo)n
und c_n+1 = a_n+1(x-xo)n+1
Konvergenz gemäss Quotientenkriterium, wenn
|c_n+1 / c_n | = | a_n+1(x-xo)n+1 / an(x-xo)n | ≤ q =1
Jetzt Quotient umformen.
| a_n+1(x-xo)n+1 / an(x-xo)n | =| a_n+1(x-xo) / an | ≤ q = 1
x-xo ist der Konvergenzradius r
| a_n+1 * r / an | ≤ q < 1
r ausklammern und q zur Vereinfachung weglassen.
r* | a_n+1 / an | < 1
Multiplikation mit dem Kehrbruch
r < | a_n / a_n+1 |
Das Problem mit dem Rand wird in der Regel erst am Schluss behandelt.
und R = lim n→∞ | a_n / a_n+1 | als Konvergenzradius angegeben.
r *| a_n+1 / an | ≤ q < 1
