Partialsummen und Konvergenz der Reihe

Question

Gegeben ist die folgende Reihe:

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 2k+2 }{ 3 }  }  $$

1) Was sind die Partialsummen der Reihe?

2) Konvergiert diese Reihe?
Begründen Sie Ihre Antwort mt der Definition von Konvergenz von unendlichen Reihen.

zu 1)
Mir ist grundsätzlich klar was eine Partialsumme ist, aber ich verstehe hier die Fragestellung nicht ganz.

zu 2)
Ich weiß dass die Summe divergiert, aber nicht wie ich dies mit Hilfe der Definition von Konvergenz von unendlichen Reihen beweisen kann.

Answer 1

die Partialsummen kann man beschreiben durch:

$$ s_n = \sum_{k=1}^n \frac{2k+2}{3} $$

und auch ein expliziert Term lässt sich berechnen so dass \(s_n\) in Abhängigkeit von \(n\) dargestellt werden kann. (Teile dazu die Summe in 2 Summen auf und berechne deren Werte in Abhängigkeit von n).

Damit lässt sich 2) dann auch direkt beantworten.

Gruß

Comments

Erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort!

Meinst du mit Summen aufteilen das?

$$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 2k }{ 3 }  } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 2 }{ 3 }  }  $$

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Genau, bei der linken Summe kannst du 2/3 ausklammern und den kleinen Gauß verwenden. Die rechte Summe sollte klar sein.

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Komme somit auf folgendes:

$$ \frac { 2 }{ 3 } *\frac { n(n+1) }{ 2 } +\frac { 2 }{ 3 } =\frac { 2{ n }^{ 2 }+2n+4 }{ 6 }  $$

Sehe ich das so richtig?

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Das ist falsch, die rechte Summe summiert sich zu \(\frac{2}{3}n\) und nicht nur \(\frac{2}{3} \).

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Ja natürlich, weil es ja n-mal aufsummiert wird!
Danke nochmal!

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Kein Thema :).