Beweisen Sie: Haben A und B vollen Rang, so hat auch AB vollen Rang.

Question

Es seien A = (ai j), B = (bi j) ∈ R n×n zwei quadratische Matrizen, so soll bewiesen werden, dass AB vollen Rang hat, wenn schon A und B vollen Rang hat.

Comments

Das Produkt zweier invertierbarer Matrizen ist wieder invertierbar.

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stimmt hast recht.
muss ich dann einfach schreiben:
Dadurch, dass alle Spalten bzw. Zeilenvektoren linear unabhängig sind und beide Matrizen quadratisch sind, finden wir reguläre Matrizen vor, sodass es von A und B Inversen gibt und  ein A^{-1} und ein B^{-1} existiert.Nun gilt A^{-1}*B^{-1}=(AB)^{-1} sodass auch AB eine reguläre Matrix sein muss und dadurch auch einen vollen Rang hat.

Answer 1

fast, allerdings ist \((AB)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1} \). Die Reihenfolge spielt eine wichtige Rolle. Du kannst natürlich auch über die Determinanten argumentieren, wenn du weißt, dass

$$ \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) $$

gilt.

Gruß

Comments

an Determinanten habe ich auch schon gedacht, aber das Thema kommt erst noch, deswegen denke ich, dass man es eher in diese Richtung machen muss.

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Ok gut :).