Ohne Rangsatz:
Betrachte die Eigenwertgleichung \(Av=\lambda v\). Wir interessieren uns für Eigenwerte \(\lambda\) und den zugehörigen Eigenvektoren \(v\neq 0\). Der Fall \(v=0\) löst die Gleichung für jedes \(\lambda\) und ist trivial und daher nicht weiter interessant. Ein Umstellen der Gleichung liefert
\((A-\lambda I)v=0\) (Umstellen und \(v\) ausklammern).
Ist \(v\) nun also ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda\), so muss dieser das homogene Gleichungssystem lösen. Besitzt die Matrix \(B=A-\lambda I\) nun allerdings vollen Rang, so ist die Lösung dieses LGS eindeutig mit \(v=B^{-1}\cdot 0=0\) (da \(B\) vollen Rang hat, ist \(B\) invertierbar).
Wir landen also im uninteressanten Fall \(v=0\). Also fordern wir daher, dass \(B\) nicht invertierbar ist und somit \(\det(B)\neq 0\). Das ist aber gleichbedeutend damit, dass \(B\) eben nicht vollen Rang besitzt. Aber auch dann ist \(v=0\) noch immer eine Lösung des Gleichungssystem, aber nach wie vor nicht interessant.