Gebrochenrationale oder Quadratische Ungleichung

Question

ich sitze jetzt eine Weile an der Aufgabe und bin mir sicher ich habe bereits fast alles aber ich bin immer noch nicht zufrieden denn in meinen Augen fehlt noch etwas wichtiges.
Ich habe auch vorsichtshalber angegeben, dass sie Gebrochenrational oder Quadratisch ist, denn je nachdem wie man sie umformt sie eins von beidem ist...^^ 

Hier erstmal die Aufgabe:
Weisen Sie nach, dass für alle x ∈ R, x > 0 gilt x + (1 / x) ≥ 2 und das Gleichheitszeichen genau für x = 1 zutrifft. 

Ich habe bereits gezeigt, dass x = 0 nicht geht, da 1/0 nicht definiert ist, jedoch wäre wenn man die Gleichung erst umstellt (x^2-2x+1≥0) und dann erst das x einsetzt 1 ≥ 0 was wiederum eine wahre Aussage ist... 

Wenn ich den Binom in der umgestellten Formel (x^2-2x+1≥0) zu (x-1)^2 ≥ 0 mache sieht man, dass x ≥ 1 ist, jedoch frage ich mich wie ich es schaffe zu zeigen, dass x > 0 ist. 
Denn in meinen Augen kann man nicht aus x ungleich 0 und x ist nicht kleiner als 0 schließen, dass x > 0 ist. Es könnte ja auch gut möglich sein, dass nur x ≥ 1 zutrifft, was aber leider nicht der Fall ist...

Ich hoffe ich habe mein Problem halbwegs verständlich beschreiben können^^

Philipp

Answer 1

x + (1 / x) ≥ 2  | * x

für x > 0 gilt

x² - 2x +1 ≥ 0

( x - 1 )^2 ≥ 0

Stets wahr.

L = ℝ

Mit der Eingangsvoraussetzung x > 0

ist die Lösung : x > 0

Answer 2

Hallo Phillip

in den Bedingungen ist doch angegeben, dass x ∈ ℝ und x > 0 sein soll. Für alle x die das erfüllen sollst Du die Ungleichung zeigen. Also musst Du x > 0 als gegeben annehmen und x <= 0 als Lösung wäre ein Widerspruch.

Weiterhin kannst Du mit "mal" x auch nur Umformen wenn x<>0 ist. Für x < 0 müsstest Du das Ungleichheitszeichen umdrehen und in dem Fall das auch x<0 gehen würde, eine Fallunterscheidung für x<0 und x>0 machen.

Du kannst dein Binom als quadratische Funktion auffassen. Diese hat genau eine Nullstelle bei x=1 und ist ansonsten immer positiv. (Tiefpunkt beweisen oder Scheitelpunktform mit nach oben offener Parabel da das Vorzeichen beim höchsten Exponenten positiv ist  oder Kontrolle je einem Wert vor und hinter der Nullstelle etc.)

Nur eine Nullstelle heisst nur einmal ist das Binom = 0, nämlich für x=1. Ansonsten immer positiv bedeutet das gilt auch für alle x aus dem Definitionsbereich der ursprünglichen Ungleichung. Damit ist die ursprüngliche Ungleichung aufgrund der Äquivalenz auch bewiesen.

Ich hoffe das hilt Dir weiter.

Gruß

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vielen dank für die schnelle und ausführliche Antwort :)