Potenzreihen und Grenzwerte - Potenzreihendarstellung cos

Question

muss Grenzwerte bestimmen und bräuchte bisschen Hilfe.

$$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { cos(h)-1 }{ h }  } $$

und

$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 1-cos((x-1)^{ 2 }) }{ (x-1)^{ 4 } }  } $$

Danke schonmal

Answer 1

Tu, was schon die Ueberschrift sagt. Benutze die Potenzreihe: $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}\pm\cdots.$$

Comments

HM2 MINT Uni Stuttgart?^^

Bin auch gerade dabei die beiden Aufgaben zu lösen, komm aber noch nicht arg viel weiter.

Eine Frage an die Experten:

es gilt ja:

$$ \color{Black}{ sin(x) = \sum (-1)^n \cdot \frac { 1 }{ (2n+1)! } \cdot x^{2n+1} \\ cos(x) = \sum (-1)^n \cdot \frac { 1 }{ (2n)! } \cdot x^{2n} } $$

für die erste Aufgabe wäre das dann ja folglich:

$$ \color{Black}{cos(h) = \sum (-1)^n \cdot \frac { 1 }{ (2n)! } \cdot h^{2n} } $$

und für den gesamten Bruch:

$$ \color{Black}{\frac { \sum (-1)^n \cdot \frac { 1 }{ (2n)!} \cdot h^{2n} -1 }{ h }  } $$

umgeformt:

$$ \color{Black}{{( \sum (-1)^n \cdot \frac { 1 }{ (2n)!} \cdot h^{2n-1}}) - { \frac { 1 }{ h } }  } $$

Bekomme ich den Bruch $$ \color{Black}{\frac { 1 }{ h }} $$ außerhalb der Summe in die Summe hinein?

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In der Antwort ist die Kosinus-Reihe explizit ausgeschrieben. Ziehe da 1 ab und teile durch x (bzw. h).