Lineares Gleichungssystem als Matrix

Question

Aufgabe:

Ich muss zeigen für welches das lineare Gleichungssytem, keine, genau eine und unendlich viele Lösungen hat.

Problem/Ansatz:

Ich bin jetzt zu einen gewissen Punkt gekommen, aber komme nichtmehr weiter :/

Text erkannt:

17:43
Donnerstag 27. Nov.
ng Algebra
LA_WS_2526_PO...
LA_WS_2526_P...
00\%

⇒ Damit ist die letzte Zeile ein Widesspuch
\( \curvearrowright 0=1 \Rightarrow C=\varnothing \)

Aufgabe 5.6. Für welche \( a \in R \) hat das durch die Matrix \( \mathbf{A} \) und rechte Seite \( \mathbf{b} \) beschriebene lineare Gleichungssystem
(i) keine
(ii) genau eine
(iii) unendlich viele

Lösungen:
\(
\mathbf{A}:=\left(\begin{array}{ccc}
a & 4 & a \\

Comments

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Standard

\( | \)\begin{tabular}{lcl|l}
0 & \( 4-\frac{a^{2}}{2}-2 a \) & \( 1-2 a L^{2} \) \\
1 & \( \frac{a}{2} \) & 3 & 2 \\
0 & 1 & -2 & \( -\frac{3}{2} \) \\
0 & 0 & \( -(a+4)|-2 a| \) & \( 7-2 a-\frac{3 a^{2}}{4} \)
\end{tabular}

→ Wann wird \( -(a+4) \cdot(a-2)=0 \)
\( \begin{array}{c} \Downarrow \\ -4 \end{array} \quad \begin{array}{c} W \\ -4 \end{array} \)

Fall \( 18 a=-4 \)
Dann ist die letzt Zeiles
\( 100013 \)

⇒ Keine Lösung (i)
Fall \( 2: a=2 \)
Dann istdie letzte Zeile:
\( 100010 \)

⇒ unendlich viele ("ösungen (iii)
\( \text { Fall } 38 a \neq 20.4 \)

Pann Steht in der letzten teile:
⇒ genav eine Lösung (ii)

\( |0.01| \) igenderine tahl

Das wäre jetzt meine komplette Lösung

Answer 1

Benutze das Gauss/Additions-Verfahren um aus drei Gleichungen mit 3 Unbekannten aus einer Gleichung 2 Unbekannte zu eliminieren, damit du nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten hast.

a·x + 4·y + a·z = 1
-2·y + 4·z = 3
2·x + a·y + 6·z = 4

II ; a*III - 2*I

-2·y + 4·z = 3
(a^2 - 8)·y + 4·a·z = 4·a - 2

II' - a*I'

(a^2 + 2·a - 8)·y = a - 2
(a - 2)·(a + 4)·y = a - 2

An dieser letzten Zeile kann man jetzt ablesen, wie viele Lösungen es gibt

Für a = 2 gibt es unendlich viele Lösungen
Für a = -4 gibt es keine Lösung
Für andere a gibt es genau eine Lösung.

Comments

Um nicht mit Brüchen hantieren zu müssen, spart man sich meist das Teilen, um die erste Zahl in einer Zeile auf 1 zu bringen. Dadurch wird das Rechnen einfacher. Auch muss man nicht zwangsweise zunächst in die erste Spalte zwei Nullen hineinbekommen. So habe ich bei mir im zweiten Schritt z.B. in einer Zeile das z eliminiert und nicht das y. Auch, weil dies einfacher zu rechnen war.