Aufgabe a) ausführlicher:
Daher muss f zu Beginn links unten die Steigung 1 haben. Also f ' (-5) = 1.
Zudem f(-5) = - 2.
f(x) = ax^3 + bx
2 = 125a + 5b (I) , wegen f(5) = 2
f ' (x) = 3ax^2 + b
1 = 3a*25 + b (II) , wegen f '(5) = 1
(I) und (II) sind 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
Die löst du nun nach a und b auf.
2 = 125a + 5b
1 =75a + b
a = 3/250, b=1/10
y = 3/250 x^3 + 1/10 x
https://www.wolframalpha.com/input/?i=+3%2F250+x%5E3+%2B+1%2F10+x+
Sieht gut aus: Die Ableitung an der Stelle x=5 ist tatsächlich 1.
b) y '' = (9 x)/125
f ''(5) = 45/125 ≠ 0
Die Krümmung von f ist an der Stelle x=5 nicht 0.
Die Krümmung der anschliessenden Geraden aber schon. Daher der "Ruck" in den Übergansstellen x=-5 und x=5.
c) Ansatz: f(x) = ax^5 + bx^3 + cx
Gleiche Bedingungen wie oben: Die Gerade h hat übrigens die Steigung 1.
Daher muss f zu Beginn links unten die Steigung 1 haben. Also f ' (-5) = 1.
Zudem f(-5) = - 2.
Aus Symmetriegründen f(5) = 2 und f'(5) = 1.
Zusätzlich forderst du f '' ( 5) = 0, damit der Übergang ruckfrei wird.
