Von Monotonie von Folge auf Monotonie von Wurzel der Folge schließen

Question

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es gilt folgendes zu zeigen:

Es sei a_n≥0 ∀n∈ℕ und a_n-->0 für n-->∞

Dann gilt auch √(a_n) -->0 für n--> ∞

Angesichts der Tatsache, dass keine genaue Folge gegeben ist, habe ich Schwierigkeiten, sonst hätte ich es irgendwie über die Monotonie bewiesen.

Eine andere Überlegung von mir war, dass wenn a_n gegen 0 konvergiert, der Abstand zwischen a_n und √(a_n)

gegen 0 läuft und somit √(a_n) auch gegen 0 konvergiert. Das aber allgemein zu beweisen gestaltet sich aber als relativ schwierig

Hat vielleicht einer eine Idee?

Gruß

Answer 1

für alle \(\varepsilon > 0\) existiert ein \(n_0 \in \mathbb{N}\), so dass für alle \(n \geq n_0\) gilt:

$$ |a_n| = a_n < \varepsilon^2 $$

Jetzt zieh die Wurzel und beende die Argumentation.

Gruß

Answer 2

Sei \(\epsilon>0\) vorgelegt. Dann gibt es (da \(a_n\) eine Nullfolge mit nichtnegativen Gliedern ist) ein \(N\), so dass \(0\le a_n<\epsilon^2\) für alle \(n\ge N\) ist. Ueberlege Dir, warum ich \(\epsilon^2\) geschrieben habe und warum man das darf.

Comments

darf ich das so schreiben, da, wenn ich die wurzel ziehe dasteht:

0≤√a_n kleiner ε ?

Gruß