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ich soll den Grenzwert limnxn der Folge {xn}n bestimmen für

a) xn=(an-nk) / (an+nk) mit a∈ℝ, a>0,k∈ℤ

b) xn= [Wurzel(1+an)-1] / an

 

und zeigen, dass

c) für a0≥ -1 und an+1= Wurzel(1+an) für n>0 die Folge {an}n monoton und konvergent ist und den Grenzwert bestimmen.

 

Kann mir bitte jemand helfen, ich bekomme das nicht hin.

Danke

Gefragt von

Als erstes mal ein Tipp zu c)

Wir hatten hier vor ein Paar Tagen: an+1= Wurzel(2+an)

https://www.mathelounge.de/6726/teilmengen-zeigen-wurzel-an-wurzel-an-suche-obere-schranke

Dort gibt's in den Antworten einen Beweis der Monotonie und der Konvergenz (Schranke).

Inklusive einen Trick für die Grenzwertberechnung: an+1 wird gleich an gesetzt und so berechnet.

Dein Ansatz wäre analog: an = √(1+an).

Das sollte eigentlich auch mit deinem Beispiel c) gelingen.

 

Ist bei b) irgendetwas zu an bekannt?

Sollte das an sein wie in a) ?

1 Antwort

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a) xn=(an-nk) / (an+nk) mit a∈ℝ, a>0,k∈ℤ

Wie es dort steht hat es keinen Definierten Grenzwert. Wenn a > 1 wäre, dann wüsste ich das die Exponentialfunktion für große n viel größer wird als die Potenz. Damit geht der Ausdruck gegen 1, weil ich die Potenz vernachlässigen kann. Besonders deutlich wird es wenn man k <= 0 setzt.

ist allerdings 0 < a < 1 denn geht a^n sehr schnell gegen Null und wird viel kleiner als n^k. Damit kann ich das a^n vernachlässigen und dort steht -n^k/n^k was eindeutig gegen -1 geht.

Wenn jetzt a = 1 ist und k = 0 wird, hat der ganze Term sogar als Grenzwert 0. Wäre k hier größer 0 geht das ganze wieder gegen -1 und wäre k < 0 geht das ganze wieder gegen 1.

Letztendlich gibt es also hier keinen festen Grenzwert bei den gegebenen Werten. 

 

b) xn= [Wurzel(1+an)-1] / an

Der Ausdruck irritiert etwas, weil an hier ja überhaupt nicht definiert ist. Sollte dort eventuell statt xn = lieber an+1 = stehen?

Dann würde ich annehmen das es ein Grenzwert gibt der sich nicht mehr Verändert.

Damit kann ich schreiben

a = (√(1 + a) - 1)/a

a^2 = √(1 + a) - 1

 

a^2 + 1 = √(1 + a)

a^4 + 2a^2 + 1 = 1 + a

 

a^4 + 2a^2 - a = 0

 

a(a^3 + 2a - 1) = 0

Das wäre einmal möglich wenn a = 0 ist. Allerdings ist der Ausdruck für a = 0 nicht definiert weil ich durch 0 teile.

Dann wäre noch 

a^3 + 2a - 1 = 0

Dort bekommen wir eine Lösung für 

a = 0,4533976515

 

c) an+1= Wurzel(1+an)

Wenn ich hier annehme das es einen Grenzwert gibt kann ich sagen

a = Wurzel(1 + a)

a^2 = 1 + a

a^2 - a - 1 = 0

Das würde zwei Lösungen geben

a = 1.618033988 = ((√5 + 1)/2) ∨ a = -0.6180339887

Die negative Lösung kann ich ausschließen weil wenn ich das für an einsetze ist an+1 sicher positiv. Also kommt als Grenzwert nur 1.618 in Frage.

Monotonie könnte ich zeigen indem ich sage:

an+1 > an

√(1 + a) > a

 

1 + a > a^2

a^2 - a - 1 < 0

-0.6180339887 < a < 1.618033988

oder 

 

an+1 < an

√(1 + a) < a

1 + a < a^2

a^2 - a - 1 > 0

a < -0.6180339887 ∨ a > 1.618033988

Wobei auch hier die negative Lösung fortfallen muss.

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