Zeigen Sie:V ist genau dann endlich dimensional, wenn V endlich ist.

Question

Sei K ein endlicher Körper d.h. ein Körper mit endlicher zugrunde liegender Menge K. (a) Sei V ein Vektorraum über K
Zeigen Sie: V st genau dann endlich dimensional, wenn V endlich ist.
In diesem Fall gilt
l V l= l K l dim v K

Hinweis: Konstruieren Sie für endlich dimensionales V mit Hilfe einer Basis eine bijektive Abbildung von V nach KdimKV

mal wieder keinen plan wie das gehen soll und das ist nur der a teil ...

ich meine das V genau dann endlich dimensional ist wenn V endlich ist ist logisch aber wie ich das mathematisch formal umsetzen soll weiss ich nicht vielleicht habt ihr ja ein paar anstösse

Danke leuts..

Answer 1

Zeigen Sie:V st genau dann endlich dimensional, wenn V endlich ist.
In diesem Fall gilt
l V l= l K l dim v K

Hinweis: Konstruieren Sie für endlich dimensionales V mit Hilfe einer Basis eine bijektive Abbildung von V nach KdimKV

Bew: :V st  endlich dimensional,

⇒ Es gibt eine Basis mit endlich vielen El. etwa v1,....vn 

Jedes El von v läßt sich EINDEUTIG als Lin. komb. mit
diesen Basiselementen darstellen, also für jedes v aus V
gibt es a1,...an mit  v= a1*v1+ a2*v2+.....an*vn 

Die Abbildung, die jedem V das n-Tupel  a1,...an zuordnet
ist bijektiv

Da es |K|^n solcher n-Tupel gibt ist alles gezeigt.

Umgekehrt: V ist endlich, dann besitz V eine Basis mit verschiedenen
Elementen von V. Davon gibt es nur endlich viele, also ist
 V endlichdimensional.