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Aufgabe:

Ist
{fAbb(N,K)f(n)=f(n+1)+f(n+2) \{f \in \operatorname{Abb}(\mathbb{N}, K) \mid f(n)=f(n+1)+f(n+2) für alle nN} n \in \mathbb{N}\}
ein K K -Untervektorraum des K K -Vektorraumes Abb(N,K) \operatorname{Abb}(\mathbb{N}, K) ?


Problem/Ansatz:

Ich bin mir Ziemlich sicher, das {fAbb(N,K)f(n)=f(n+1)+f(n+2) \{f \in \operatorname{Abb}(\mathbb{N}, K) \mid f(n)=f(n+1)+f(n+2) für alle nN} n \in \mathbb{N}\} kein K-Untervektorraums des K-Vektorraums Abb(N,K) \operatorname{Abb}(\mathbb{N}, K) ist.


Da noch nichtmal im Vektorraum ein neutrales Element der Addition existiert, da die Natürlichen Zahlen ohne 0 gemeint sind.


Wenn das richtig ist, weiß ich leider überhaupt nicht, wie ich das mathematisch aufschreiben soll.

Danke für jede Hilfe

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Beste Antwort

Es gilt

(f+g)(n)=f(n)+g(n)=(f+g)(n)=f(n)+g(n)=

=f(n+1)+f(n+2)+g(n+1)+g(n+2)==f(n+1)+f(n+2)+g(n+1)+g(n+2)=

=(f+g)(n+1)+(f+g)(n+2)=(f+g)(n+1)+(f+g)(n+2)

und

(cf)(n)=cf(n)=c(f(n+1)+f(n+2))=(c\cdot f)(n)=c\cdot f(n)=c(f(n+1)+f(n+2))=

=cf(n+1)+cf(n+2)==c\cdot f(n+1)+c\cdot f(n+2)=

=(cf)(n+1)+(cf)(n+2)=(c\cdot f)(n+1)+(c\cdot f)(n+2).

Das neutrale Element ist die Nullfunktion f(n)=0f(n)=0 für alle nNn\in\mathbb{N}.

Avatar von 29 k

Vielen dank, wie genau kann ich von deinen Erkenntnissen darauf schließen, dass f(n) = 0 ist?

Warum willst du das daraus schließen?

Sei ff die Nullfunktion, dann ist doch f(n)=0f(n)=0.

Aber warum ist die Nullfunktion das neutrale Element der

Addition?

Deswegen: f+g=g    (f+g)(n)=g(n)    f+g=g\iff (f+g)(n)=g(n)\iff

f(n)+g(n)=g(n)f(n)+g(n)=g(n), also f(n)=0f(n)=0

für alle nn.

Alles klar danke dir, also kann ich einfach f(n) zur Nulldunktion machen ohne bedenken?

Kann auch f(n+1) zur Nullfunktion machen?

Du machst nicht f(n) zur Nullfunktion, sondern du

siehst, dass f die Nullfunktion ist, also für alle natürlichen

Zahlen f(n)=0 ist, also insbesondere dann auch f(n+1);

denn n+1 ist doch auch eine natürliche Zahl.

f ist die konstante Funktion, die jeder nat. Zahl die 0 zuordnet.

Ich hab’s endlich verstanden, danke dir vielmals, wie immer!

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