Beweis mit vollständiger Induktion. Summen- und Produktzeichen zusammen?

Question

Beweisen Sie die Richtigkeit der Formel mittels der vollständigen Induktion:

∀ n, m ∈ ℕ: 

$$ \sum _{ i=1 }^{ n }{ \prod _{ j=0 }^{ m-1 }{ (i+j)=\frac { (n+m)! }{ (m+1)(n-1)! }  }  }  $$

Dabei definiert man n Fakultät als:  

$$n!=\begin{cases} 1,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad n=0, \\ n*(n-1)!\quad \quad \quad \quad n\ge 1 \end{cases}$$

Comments

Die cases 

werden leider  in 

https://www.matheretter.de/rechner/latex nicht vernünftig interpretiert. 

Versuch eine Darstellung mit Klammern. 

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Möglicherweise besser, wenn die Leerstellen vor und nach cases entfernt werden.

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Teste bitte deine Idee im oben angeführten Link. 

Wenn's dort klappt, gerne deinen "Code" als Kommentar posten. Danke. 

Alternativ für Fragesteller: Klartextfassung schreiben. 

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$$n!=\begin{cases} 1,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad n=0, \\ n*(n-1)!\quad \quad \quad \quad n\ge 1 \end{cases}$$

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EDIT: Besten Dank. Ist oben so korrigiert. 

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Ich habe mich bei der Formel leider vertippt. Die richtige Formel lautet:

$$ \sum _{ i=1 }^{ n }{ \prod _{ j=0 }^{ m-1 }{ (i+j)=\frac { (n+m)! }{ (m+1)(n-1)! }  }  }  $$

LG

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EDIT: Habe die neue Version oben in die Fragestellung eingebaut. 

Zur Aufgabe: Hast du denn schon eine Verankerung für die Behauptung? 

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Nein, leider weiß ich nicht, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. 

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Kann mir keiner bei dieser Aufgabe helfen? Oder habt ihr vielleicht eine ähnliche Aufgabe schon mal gemacht? Wie geht denn eine vollständige Induktion mit dem Summen- und Produktzeichen?