Beweis 1/x >= 2-x : x>0

Question

Ich muss die Ungleichung 1/x ist größer/gleich 2-x beweisen, die für alle x>0 gilt.

Ich habe eine Zeichnung angefertigt und rein logisch ist es mir auch klar. Die beiden Graphen treffen sich bei (1/1) und fallen dann beide.

Mir ist nicht klar wie ich das beweisen soll. Vollständige Induktion kommt meiner Meinung nach nicht infrage, da der Induktionsanfang unklar ist, da x>0 ist. Die kleinste Zahl die größer als 0 ist, ist ja nicht zu ermitteln...

Ich danke euch für eure Hilfe

Answer 1

sei x>0

1/x ≥ 2-x  | • x

⇔ 1 ≥ 2x - x²  | - 2x | + x² 

⇔ x² -2x +1 ≥ 0  | 2. binomische Formel anwenden

⇔ (x-1)² ≥ 0

Die letzte Ungleichung ist allgemeingültig. Wegen  der ⇔-Zeichen kannst du die Umformungen rückwärts lesen und erhältst die Behauptung.

Gruß Wolfgang