Für welche n aus den Natürlichen Zahlen ist n^2 ≤ 2^n (Beweis)

Question

Aufgabe:

Für welche n aus den Natürlichen Zahlen ist n^2 ≤ 2^n

Ich weiß, dass die obige Ungleichung für alle Zahlen ausser die 3 gilt. Kann mir bitte jemand helfen wie man das beweist?

Problem/Ansatz:

Ich habe schon sehr viel ausprobiert, von Logarithmus, über quadrieren, etc.

Kann mit jemand einen neuen Ansatz für diese Aufgabe geben?

Ich habe auch schon probiert die Gleichung umzudrehen um genau die Zahlen herauszufinden für die die eigentliche Gleichung nicht geht, das hat allerdings auch nicht funktioniert.

Answer 1

Sie gilt für 1,2 und alle nat. Zahlen größer gleich 4

2^n-n^2≥0 gilt für n ≥ 4

Induktion:

2^(n+1) -(n+1)^2 = 2*2^n - n^2 -2n -1 = (2^n - n^2)+(2^n -2n -1) ≥ 2^n -2n - 1  ≥ 2^n -2n -1

Wir wollen zeigen, dass

2^n -2n -1 ≥ 0 für n ≥ 4

für n = 4 gilt die Gleichung

Induktion :

2^(n+1) -2(n+1) -1 = 2^n  + 2^n -2n - 2 -1 = (2^n  - 2n -1) + 2^n -2 ≥ 2^n -2 ≥ 2^4 -2 = 16 - 2 = 14 ≥ 0

Somit gilt :

2^(n+1)-(n+1)^2 ≥ 0

Comments

Vielen vielen Dank!!

Answer 2

Rechne es für n=1 und n=2 einfach vor, zeige dass n=3 nicht funktioniert  und führe für den Rest einen Induktionsbeweis mit dem etwas unüblichen Induktionsanfang n=4.