Beweise Monotonie und, dass die Folge nicht beschränkt ist.

Question

Hallöchen :)

Ich muss bei der Aufgabe die Monotonie( soll streng monoton wachsend sein) der Folge für jeden Startwert a₁ >0 . (n ∈N) beweisen.

Außerdem soll man beweisen, dass die Folge nicht beschränkt ist.

Die Folge lautet: 

a_n+1= a_n+ ( 1/ a_n)

Nun, so bin ich vorgegangen :

i) Monotonie

streng monoton wachsend : a_n+1 > a_{n .} Ich habe es mit a_n+1 - a_n  gerechnet und das Ergebnis lautet: 

=> 1/a_{n .} Kann ich nun sagen, dass die Folge monoton wachsend ist, weil die Bedingung gilt : für jeden Startwert a₁ >0. Aber was bedeutet das genau? Geht man dann gleich davon aus, dass es für die weiteren Folgenwerte es auch gilt?

Nun zum 2. Teil der Aufgabe: 

ii) nicht  beschränkt. 

Jede Folge die konvergent ist, ist beschränkt. 

Wenn die Folge konvergent ist gilt: 

a=  lim_n->∞a_n = lim_n->∞a_n+1.

<=> a= a+(1/a)

<=> (1/a)=0

=> Folge nicht konvergent, somit auch nicht beschränkt. 

Ist das nicht nun ein Widerspruch? Da man nicht mit 0 teilen darf.

Reicht es schon, wenn ich es durch die Konvergenz die " nicht besxhränkheit"(nenne es jz einfach mal so) beweise?

Viele Dank für die Antworten.

Comments

ii)  Zeige z.B. per Induktion, dass \(a_n^{\,2}\ge n\) für alle \(n\) gilt.

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Sorry, das war Unfug.

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Nicht ganz Gast, ist eine gute Idee. Man muss nur zusätzlich sagen, dass bei \(1>a_1>0\) der Induktionsanfang bei \(n=2\) zu wählen ist :), also, dass die Ungleichung für alle \(n \geq2 \) gilt.

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Noch eine letzte Frage :/

Kann ich es auch durch die Betragsdefinition zeigen? 

Wenn ja, wie würde es denn gehen?:o

Answer 1

zur Monotonie: Du musst schon (auch wenn es nur kurz ist) zeigen, dass \(a_n > 0\) für alle \(n \in \mathbb{N} \), nicht nur für den Startwert.

zur Beschränktheit: Nur weil eine Folge nicht konvergiert, heißt es nicht, dass sie nicht beschränkt ist.

Gruß

Comments

Wie zeige ich denn, dass es nicht beschränkt ist und, dass es für alle a_n gilt?:o

Danke :) 

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dass es für alle a_n gilt

(kurze) Induktion zum Beispiel.

Wie zeige ich denn, dass es nicht beschränkt ist

Oh ok will nicht doppelt posten, der Gast war schneller :) siehe also Kommentar unter deiner Frage.

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Uff, stimmt das nun oder nicht :o ? Der Gast meint es wäre falsch, was er geschrieben hat. 

Ich hab bei i) es so versucht für alle n  zu beweisen:

Für den Startwert habe ich es ja schon gezeigt.

Nun für a_n+1hab ich die Folge abgeschätzt.

a_n+1= a_n+(1/a_n)> a_n>0. Stimmt das? Ich weiß ja das a_n >0 sein muss. 

Stimmt das so wie ich es geschrieben habe? Hab es jz nicht nach der Induktion gemacht. Da weiß ich nicht wie der IA lautet....

Nun hänge ich noch bei der Beschränktheit fest.

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Der Gast hatte nur einen kleinen Fehler (siehe mein Kommentar dazu).

Ja das mit der Abschätzung stimmt :). Der IA ist durch die Aufgabenstellung vorgegeben (den hast du nicht gezeigt ^^), nämlich dass \(a_1 > 0\).

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Ich habs bei der Beschränkung das mit der Induktion versucht ...aber ich scheitern einfach beim IA. Was sagt es mir denn aus wenn meine Folge größer gleich dem n ist? 

Danke und sorry, dass ich so viel frage :/

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Mache, denn IA für \(n=2\). Dazu solltest du dir überlegen warum für \(a>0\) gilt: \(a+\frac{1}{a} \geq 2\).

Was sagt es mir denn aus wenn meine Folge größer gleich dem n ist? 

Hmm, überleg mal scharf, ob deine Folge dann beschränkt sein könnte.

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Liegt das daran,dass  n ->∞ geht und,  da  die Folge größer ist als n, würde das heißen dass die Folge auch bis ∞.

Kann ich die  Ungleichung immer für so einen Beweis verwenden? Also für einen Beweis, dass die Folge nicht beschränkt ist. Danke :)

Die Ungleichung hat mich nur verwirrt, denn das n steht ja immer unter dem a und nicht im Term. Aber es macht ja jz Sinn :) 

Und nochmal zur Induktion:

Wenn ich IA mit n=2 zeigen soll, muss ich dann nicht mit a₂ rechnen und im Induktionschritt mit a_n+1?

Danke:)

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Liegt das daran,dass  n ->∞ geht und,  da  die Folge größer ist als n, würde das heißen dass die Folge auch bis ∞.

Ja! :)

Kann ich die  Ungleichung immer für so einen Beweis verwenden? Also für einen Beweis, dass die Folge nicht beschränkt ist. Danke :)

Nein! Diese Abschätzung kannst du natürlich nicht immer verwenden, weil sie nicht für jede unbeschränkte Folge gilt, was nicht heißt, dass du bei anderen Folgen nicht ebenfalls eine andere Abschätzung (Ungleichung) verwenden kannst.

Ja du muss bei IA zeigen, dass gilt \(a_2 \geq 2\). Und im IS musst du aus \(a_n \geq n\) folgern dass \(a_{n+1} \geq n+1\) gilt.

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Puuuh. ..ich hoffe ich hab es bald :)

Ich hab nun das mit der Induktion versucht und ich weiß auch, wieso die Folge ≥2 ist. 

Aber ich weiß nicht, wie ich es mathematisch begründen soll.

Bei a_n+1fällt es mir schwer auf das Ergebnis zu kommen. Das einzige, was ich bei a_n mache ist dass ich a_n ausklammere. Aber das hilft mir nicht arg weiter.

Nun zum IA. 

Ich hab festgestellt, dass wenn a_nkleiner 2 ist es dennoch größer als 2 ist und wenn es größer ist sowieso :) wie halte ich es mathematisch fest ?>. <

Danke:)

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Habe ich dir doch geschrieben, zeige dass gilt

\( a+\frac{1}{a} \geq 2 \) für \(a > 0\)

Das heißt forme die Ungleichung um bis du eine wahre Aussage hast. Also eine Ungleichung die offensichtlich richtig ist.

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Tut mir leid, wegen der Fragerei...aber ich glaube ich steh auf dem Schlauch :/ 

Ich kann da höchsten a Auf die rechte Seite bringen ..dann würde es lauten 2-a aber das bringt mir ja nichts . 

Und a≥ 2- (1/a) hilft mir ja auch nicht :(

Danke für die vielen Antworten!!

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Ok, sei \(a > 0 \):

$$ \begin{aligned}a + \frac{1}{a} &\geq 2 \\ \frac{a^2+1}{a} &\geq 2 \\ a^2+1 &\geq 2a \\ (a-1)^2 &\geq 0 \end{aligned} $$

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Wenn ich nun für den IS die gleichen Schritte anwende...dann komme ich nicht auf a (n+1)...ich habe ja nur a (n) stehen. Wie kann i h es so umformen, dass aus a (n) a (n+1) wird? 

Ich hoffe es war meine letzte Frage. Wünsch dir noch eine schöne  Nacht:)

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Wer sagt, dass du die "gleichen Schritte" anwenden sollst???

Was ist denn \(a_{n+1}^2\) nach der rekursiven Definition (also als Darstellung von \(a_n\)?

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a_n= a_n-1+(1/a_n-1)? :/

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Das Quadrat habe ich nicht nur zum Spaß dahin geschrieben. 

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a_n²= (a_n-1+(1/a_n-1))²

a_n²= a²_n-1+2 + 1/a²_n-1

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Ja und jetzt setz deine Induktionsvoraussetzung für \(a^2_{n-1}\) ein.

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a_n²= a²_n-1+2 + 1/a²_n-1 ≥ n²+2+ (1/n²)

(Bin mir ziemlich sicher, dass es falsch ist )

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Ja ist es, \( a \geq b \) bedeutet nicht , dass \(\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} \). Du brauchst den Bruch aber auch gar nicht abzuschätzen. Du hast auch die IV falsch eingesetzt.

$$ a_n^2 \geq (n-1)+2+\frac{1}{a_{n-1}^2} $$

Warum folgt damit nun der Beweis? 

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Nun folgt ja : ≥ (n+1) + 1/ a²_n-1. Ba (n) ist somit immer größer als n+1? Und 1/ a²_n-1 ist >0. 

Liege ich da richtig ? 

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Weil \(\frac{1}{a^2_{n-1}} > 0 \) ist folgt, dass \(a^2_n \geq n+1\). Das Quadrat kannst du nicht einfach weglassen.