Für welches r∈ℝ sind die Vektoren aus ℝ^3
(1,3,4),(3,r,11),(-1,-4,0) linear abhängig?
Wie kann ich den Wert r ermitteln?
Hi,linear abhängig sind die Vektoren, wenn gilt$$ \alpha_1\begin{pmatrix} 1\\3\\4 \end{pmatrix} + \alpha_2\begin{pmatrix} 3\\5\\11 \end{pmatrix} + \alpha_3\begin{pmatrix} -1\\-4\\0 \end{pmatrix} = 0 $$ für nicht alle \( \alpha_i = 0 \)D.h. es muss \( r \) so bestimmt werden, dass die Gleichung$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 3 & r & -4 \\ 4 & 11 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3 \end{pmatrix} = 0 $$ eine nicht triviale Lösung besitzt. Dies ist der Fall, wenn die Determinate gleich \( 0 \) ist mit \( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 3 & r & -4 \\ 4 & 11 & 0 \end{pmatrix} \)Es gilt $$ \det(A) = 4r - 37 $$Also folgt \( r = \frac{37}{4} \)
im ℝ3 berechnest du am einfachsten das "Spatprodukt" [ (1,3, 4) x (3,r,11) ] • (-1,-4,0)
und prüfst, für welche r das Ergebnis Null wird.
Genau für diese r sind die Vektoren linear abhängig.
[ Kontrollergebnis: SP = 4·r - 37 = 0 → r = 37/4 ]
Gruß Wolfgang
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