Erwartungswert. Stichprobenmittel: E [Xquer_(n)4]= 1/n4 [nq_(4) +3n(n-1)σ4]

Question

Einen schönen :D

Meine Frage an euch- hoffe, dass ihr mir helfen könnt :(

Also:

Ich habe unabhängige Zufallsvariablen X₁,...,X_n mit E [X_i]=0  , σ² :=E[X_i²] und q₄ := E [X_i⁴].

Zur zeigen ist, dass

E [X_n⁴]= 1/n⁴ [nq₄ +3n(n-1)σ⁴]

wobei hier bei E [X_n⁴] ein oberer Strich bei X ist. Ich denke mal das steht für den Stichprobenmittel.

ich sitze da wirklich schon seit Tagen und komme einfach nicht drauf.

wäre über eine Antwort echt dankbar.

LG

Answer 1

1) Der Erwartungswert ist linear.

2) $E[X_i^3] = 0$

3) $E[X_i X_j] = E[X_i]E[X_j] = 0$ falls $i \neq j$.

$$\begin{aligned} E[\overline{X}_n^4] &= E\left [ \left( \frac{X_1 + X_2 +... + X_n}{n} \right) ^4 \right] \\ &= \frac{1}{n^4} E[(X_1 +...+X_n)^4] \\ &= \frac{1}{n^4} \left( \sum_{i=1}^n E[X_i]^4+\sum_{i=1}^{n-1} 6E[X_i^2] \sum_{j=i+1}^n E[X_j^2]\right) \end{aligned}$$

Gruß

Comments

den letzten Schritt habe ich leider nicht verstanden :(

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Du musst dir anschauen welche Terme (X_1+X_2+...+X_n)⁴ ausmultipliziert beinhaltet. Durch die Bedingungen von 1) bis 3) fallen bei dem letzten Schritt viele Summanden weg. Schau dir eventuell nochmal das Multinomialtheorem ansonsten melde dich nochmal, sobald ich mehr Zeit habe kann ich das ein wenig ausführen.

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Komme da echt überhaubt nicht drauf...

Also folgendes:

......

=1/n⁴ E [ (X₁+....+X_n)⁴ ]  das ist mir schon klar

=1/n⁴ E [ (X₁+...+X_n)*(X₁+....+X_n)*(X₁+...+X_n)*(X₁+...+X_n) ]

=1/n⁴ E [ (X₁²+....+X_n²)* (X₁+....+X_n)*(X₁+...+X_n)]

=1/n⁴ E (X₁²+...+X_n²)+E (X₁+....+X_n)+E(X₁+....+X_n)

=1/n⁴ σ² +0+0

????

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Das ist ja mal richtig grober Unfug. Probier es doch mal für kleine n aus. Setze n=2 und n=3 und rechne das ganze mal aus. Beim ausmultiplizieren kommt was völlig anderes raus. Ansonsten habe ich erst heute abend Zeit.

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=1/n⁴ E [ (X₁+...+X₂)*(X₁+....+X₂)*(X₁+...+X₂)*(X₁+...+X₂) ]      für n=2

meinst du es so?

=1/n⁴ E [ (X₁+...+X₃)*(X₁+....+X₃)*(X₁+...+X₃)*(X₁+...+X₃) ]     für n=3

=1/n⁴ E [ (X₁*X₁ + X₁*X₂ +X₁*X₃ )*(X₁*X₁ + X₁*X₂ +X₁*X₃ ) ]

=1/n⁴ E [ (X₁² + X₁*X₂ +X₁*X₃ )*(X₁² + X₁*X₂ +X₁*X₃ ) ]

=1/n⁴ E [ (X₁⁴+X₁²*(X₁*X₂)+X₁² *(X₁*X₃)]

........

hmmm was habe ich davon...

BIn total BLIND :´(

Sorry

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Also so multipliziert man nicht aus. Beispiel:

$$(X_1+X_2+X_3)^2 = X_1^2 + X_1X_2+X_1X_3+X_2X_1+X_2^2+X_2X_3+X_3X_1+X_2X_3+X_3^2 = X_1^2+X_2^2+X_3^2+2X_1X_2+2X_1X_3+2X_2X_3$$
Du merkst, es wird komplizierter um so größer $n$ wird. Für sowas gibt es zur Vereinfachung der rechnerischen Handhabung zum Beispiel das von mir genannte Multinomialtheorem.
Was aber nun wichtig ist: Wenn du $(X_1+X_2+...+X_n)^4$ ausmultiplizierst, so kriegst du nur Terme(hier jetzt ohne Koeffizienten) der Form:
$X_i X_j X_k X_l$, $X_i^2X_jX_k$, $X_i^2X_j^2$, $X_i^3X_j$, $X_i^4$ wobei unterschiedliche Buchstaben unterschiedliche Zufallsvariablen bedeuten. (Die Exponenten ergeben grade in ihrerer Summe jeweils $4$.)
Wenn du nun 2) und 3) verwendest bei den Umformungen der entsprechenden Erwartungswerte, fallen viele von den Termen weg, so dass du nur noch, welche der Form
$X_i^2X_j^2$ und $X_i^4$ betrachte n musst. Daher die Summen in meiner letzten Umformung. Du musst dir dann nur noch klar machen wie viele es von diesen Termen gibt (sprich Koeeffizienten). Die Abzählung wie man $i$ und $j$ dabei jeweils kombinieren kann habe ich dir ja in der letzten Gleichung vorgegeben.