Differenzierbarkeit von einem Bruch

Question

ich stehe vor einem Problem;
Ich weiß nicht, wie ich das "h" im Zähler ausklammern soll. Habe alles mögliche versucht, aber es hat nie geklappt.
Würde mich über eine konstruktive Hilfestellung freuen!

Das war bisher mein Ansatz

Comments

Wolfgang, wo sind Sie? Hilfe!

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 Wolfgang schläft vermulich ...

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Falls die Aufgabe im Unterricht besprochen wird würde
mich der Lösungsweg BRENNEND interessieren.

mfg Georg

Answer 1

Hi,
Du musst eine Funktion der Form \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) ableiten. Allg. gilt
$$ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{ \frac{u(x+h)}{v(x+h)}-\frac{u(x)}{v(x)} }{h} = \frac{v(x)u(x+h)-u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)} = \frac{v(x)u(x+h)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x) - u(x)v(x)}{h v(x+h)v(x)} = $$
$$ \frac{v(x)\frac{u(x+h)-u(x)}{h} - u(x)\frac{v(x+h)-v(x)}{h}}{v(x+h)v(x)} \to \frac{u'(x) v(x) -v'(x) u(x)}{v^2(x)} $$ Soweit die Quotientenregel.

Bei Dir ist \( u(x) = x+5 \) Also $$ u'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{x+h+5-x-5}{h} = 1 $$ und \( v(x) = \sqrt{x+1} \) also
$$ v'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h+1}-\sqrt{x+1}}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h+1}-\sqrt{x+1}}{h} \frac{\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1}} = \lim_{h\to 0} \frac{x+h+1-x-1}{h \left( \sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1}\right)} = \lim_{h\to 0} \frac{h}{h \left( \sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1} \right)} = $$
$$ \lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h+1}+\sqrt{x+1}} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} $$
Jetzt alles zusammenbauen ergibt das Ergebnis
$$ \frac{ \sqrt{x+1} - \frac{1}{2\sqrt{x+1}}(x+5) }{x+1} = \frac{x-3}{2(x+1)\sqrt{x+1}} $$

Comments

Hallo ullim,

wie geht die Umformung

h * v ( x + h ) * v ( x )
h kommt nach oben. Es bleibt
v ( x + h ) * v ( x )

wird bei dir zu

v^2 ( x )  ???

mfg Georg

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Jedoch frage ich mich; ist dieser Lösungsweg akzeptabel, wenn man laut Aufgabenstellung keinen Gebrauch von den Ableitungsregeln machen soll? Die wurde ja indirekt verwendet

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Hi Georg,

das kommt durch den Grenzübergang für \( h \to 0 \), dann wird \( v(x+h)v(x) =v^2(x) \)

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ich denke der Weg ist korrekt, Es wurde nur die Definition der Ableitung benutzt für die Herleitung der Quotientenregel. Für die Ableitung von Nenner und Zähler wurde jeweils auch nur die Definition für Ableitung benutzt.

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Achso, hatte nicht gesehen, dass die Definition der Ableitung auch für die Herleitung der Quotientenregel genommen wurde!

Nun ist alles klar, herzlichen Dank!

Answer 2

Du musst den Nenner auch noch hinschreiben:

((..........)^2 - (..............)^2 )  /   (  h * (wurzel(x+h+1) + wurzel(x+1))

und wenn du im Zähler die Klammern auflöst und zusammenfasst, kannst

du im Zähler auch h ausklammern und mir dem im Nenner kürzen.

Comments

hallo mathef,

wie kommt der Fragesteller und auch du darauf die Summanden
im Zähler  zu quadrieren ? 4.Zeile ?

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3. binomi. Formel und Erweitern mit

(wurzel(x+h+1) + wurzel(x+1))

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"Du musst den Nenner auch noch hinschreiben:

((..........)² - (..............)² )  /   (  h * (wurzel(x+h+1) + wurzel(x+1))"



aber warum nur mit (wurzel(x+h+1) + wurzel(x+1)) erweitern?  Ich habe mit

 (wurzel(x+h+1) * ((x+h)+5) + wurzel(x+1)) * (x+5) erweitert, da dieser Ausdruck im Zähler stehen.



Reicht es also aus nur mit den Faktoren zu erweitern, die mann quadrieren will?