Funktionsschar fk mit fk(x)= -(x+k)*e^{-x} .

Question

sitze gerade an folgender Aufgabe zu Funktionsscharen.

Gegeben ist die Funktionsschar f_k mit f_k(x)= -(x+k)*e^-x  .
Untersuchen sie die Funktionsschar auf Null-, Extrem- und Wendestellen und geben sie die Gleichung der Ortskurve an, auf der die Extrempunkte liegen.

Folgendes Problem habe ich jetzt, also das Vorgehen um Null-, Extrem- und Wedestellen zu berechnen ist mir klar. Einziges Problem ist jetzt, dass ich so wie ich die Funktionsschar umgeformt und abgeleitet habe auf keine Lösung komme. Vielleicht kann ja mal jemand kurz drüber schauen.

Also die Funktionsschar habe ich erstmal wie folgt umgeformt und dann abgeleitet:

f_k(x)= -e^-x *x - k*e^-x

f_k´(x)= e^-x + k*e^-x

f_k´´(x)= -e^-x - k*e^-x

Comments

Beim ersten Term brauchst du schon die Produktregel wenn du richtig ableiten möchtest.

---

Hab jetzt mit Produktregel abgeleitet komme auf f´(x)=e^-x * x-2e^-x -ke^-x . Wenn ich dass jetzt gleich null setzte komme ich trotzdem auf keine Lösung. Oder mache ich beim ableiten irgendwas falsch. Kann mir dass vielleicht jemand exemplarisch für die Extrema zeigen?

Answer 1

Richtig ableiten mit Kettenregel ergibt

f(x) = - e^{-x}·(x + k)

f'(x) = e^{-x}·(x + k - 1)

f''(x) = - e^{-x}·(x + k - 2)

Ortskurve der Wendepunkte f'(x) = 0

- e^{-x}·(x + k - 2) = 0 --> k = 2 - x

in die Funktion einsetzen

y = - e^{-x}·(x + (2 - x)) = - 2·e^{-x}

So ähnlich machst du das auch für die Ortskurve der Extrempunkte.

Comments

Hi Coach, die Ableitungen sind falsch.

---

Oh danke. Ich habe das verbessert.

Answer 2

Und hier noch die Null, Extrem, Wendestellen die dir noch
Mühe bereiten

f(x) = - e^-x·(x + k)
Nullstelle
- e^-x·(x + k)  = 0
Die e-Funktion ist immer ungleich 0. Also
x + k = 0
x = -k
( -k | 0 )

f'(x) = - e^-x·(x + k - 2)
Stellen mit waagerechter Tangente
x + k - 2 = 0
x = 2 - k
( 2 - k | f ( 2 - k ) )

f''(x) = - e^-x·(x + k - 4)
Wendestellen
x + k - 4 = 0
x = 4 - k
( 4- k | f ( 4 - k )  )

mfg Georg

Comments

Da ich die Ableitungen vom Mathecoach übernommen
hatte ist also bei der 1. und 2.Ableitung ein kleiner Fehler
vorhanden. Du wirst diesen sicherlich selbst bereinigen
können.