Basis bestimmen bei komplexen Zahlen

Question

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. 
Es geht um folgende Aufgabe Ich habe jetzt S in Abhängigkeit von z geschrieben ( sprich eine Matrix mit den Elementen z1 , z2 , z3, z4) und dann nach der Formel AS = SA' aufgelöst. Dabei komme ich darauf, dass z1 + z3*i = 0 ist. Aus einer anderen Gleichung folgt dann z1*i=z3. Dann kann man interpretieren, dass z1 reell sein muss und z3 den gleichen Wert haben muss und imaginär ist. Bzw. umgekehrt x1 ist imaginär und x3 ist reell mit dem selben Wert. Allerdings komme ich hier einfach nicht weiter. Außerdem fehlt mir leider jeglicher Ansatz zum berechnen der Basis. Da S ja eine 2x2 Matrix ist, müsste die ja 4 dimensional sein, oder besteht die Basis selber aus Matrizen?
Ich hoffe einer von euch kann mir dabei helfen :)

Answer 1

Da S ja eine 2x2 Matrix ist, müsste die ja 4 dimensional sein,

Der Raum ALLER 2x2 Matrizen ist 4-dim. Hier hast du aber

einen Unterraum davon. Da kann die Dim kleiner sein, je nachdem

wieviel Elemente deine Basis hat.

oder besteht die Basis selber aus Matrizen?Genau.

Du brauchst lin. unabhängige Matrizen, die alle

S mit der genannten Eigenschaft erzeugen.

und die wirst du wohl auch deinen Gleichungen bestimmen

können:

z1 + z3*i = 0 ist. Aus einer anderen Gleichung folgt dann z1*i=z3

wenn du die zweite Gl mit i multiplizierst  - z1 = i z3

hast du da auch        z1 + z3*i = 0 

Wenn das wirklich die einzige Bedingung ist, kannst du

ja sagen S =

z1          z2
  -iz1        z4       = 

z1 *     1    0      + z2*   0   1    + z4 *   0    0
           -i    0                0    0               0     1

und diese 3 Matrizen bilden die gesuchte Basis, also dim=3.