Basis in C-Vektorraum bildet mit komplexen Zahlen z eine neue Basis in R-Vektorraum

Question

Ich habe große Schwierigkeiten mit dieser Übungsaufgabe. Laut meines Wissens hat eine Basis die Eigenschaften, dass sie

(i) linear unabhängig ist.

(ii) sich alle Vektoren von V mit ihr bilden lassen.

Ich weiß allerdings nicht wie ich das in der genannten Aufgabe angehen oder beweisen soll. Ein Denkanstoß in die richtige Richtung würde mir schon sehr viel helfen.

Answer 1

Hallo

erst mal bestimmen welche Dimension der reelle Raum hat, dazu muss es genügend Basisvektoren geben. dann die Linearkombination von allen aufstellen, und benutzen dass die für die a_i nur =0 wenn alle verschwinden, dann benutzen dass alle z_i einen Imaginärteil haben, also nicht einfach nur reelle vielfache der ai sind, am besten die z_i in xi+i*y_i aufteilen, dann weisst du schon fast alles, aus der Lin Unabhängigen. der a_i

Gruß lul

Comments

Erstmal vielen Dank, das hat mir schon ziemlich geholfen.

Als Dimension habe ich 2n bestimmt, da in der Aufgabenstellung ja gesagt wird dass 2n Vektoren eine Basis bilden und die Anzahl der Basisvektoren gleich der Dimension ist. Ich weiß allerdings nicht wie ich das beweisen soll, oder ob ich das muss. Ansonsten ist
                          \( \sum\limits_{i=1}^{n}{λ_ia_i+μ_iz_ia_i} \) 
linear unabhängig. 
Aus dim(V) = 2n und der linearen Abhängigkeit folgt dann ja, dass das wirklich eine Basis ist. Nur setzt ich bei der Bestimmung der Dimension ja voraus, dass das eine Basis ist. Dürfte also eigentlich noch nicht bewiesen sein, oder?

Und ich verstehe auch nicht wie aus einer komplexen Zahl z eine reelle Zahl gebildet werden kann wenn deren Imaginärteil nicht verschwinden kann.

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Ultor