Exponentialfunktion: Ableitung mit Zeitkonstante

Question

folgende Aufgabe ist gegeben:


Vorschläge zu:
(a)+(b)
$$I(t)=t\cdot { e }^{ \frac { -t }{ \tau  }  }\\ I'(t)=\frac { { t }^{ 2 }\cdot { e }^{ \frac { -t }{ \tau  }  } }{ { \tau  }^{ 2 } } \\ \tau =10ms\\ I(t)=t\cdot { e }^{ \frac { -t }{ 10 }  }\\ I'(t)=\frac { { t }^{ 2 }\cdot { e }^{ \frac { -t }{ 10 }  } }{ { 10 }^{ 2 } } $$

Bis 10ms steigt der einfließende Strom an und fällt dann ab 10ms ab (siehe blauen Graphen f(x) bzw. I(t)). g(x) bzw. I'(t) entspricht die 1. Ableitung.

(c)
Einfluss τ auf I_max und t_max?:
Je größer τ wäre (wie z.B statt 10ms--> 100ms), desto später würde die Kurve abfallen. Die Zeitkonstante τ sorgt dafür, dass die Kurve auf der x-Achse nicht divergiert sondern gegen 0 konvergiert. Gleichzeitig sorgt τ für eine obere Schranke auf der y-Achse.

Sind die Ergebnisse richtig?

Beste Grüße,

Asterix

Answer 1

Leider ist deine Ableitung falsch.

I ( t ) = t * e^{-t/10}
Produktregel
I ´( t ) = 1 *  e^{-t/10}  + t * e^{-t/10} * (-1/10)
I ´( t ) = e^{-t/10} * ( 1 + (-1/10) )
I ´( t ) = e^{-t/10} * ( 1 - t * 1/10) )

Stellen mit waagerechter Tangente
e^{-t/10} * ( 1 - t * 1/10) ) = 0
Die e-Funktion ist stets > 0. Also
-1 - t * 1/10 = 0
t = 10

( Deine blaue Kurve)
Stellen mit positiver Monotonie
e^{-t/10} * ( 1 - t * 1/10) ) > 0
Die e-Funktion ist stets > 0. Also
1 - t * 1/10 > 0  | * -1
-1 + t * 1/10 < 0
t * 1/10 < 1  * 10
t < 10

c.)
Stellen mit waagerechter Tangente. Hochpunkt
I ´( t ) = e^{-t/τ} * ( 1 - t * 1/τ) )
1 - t * 1/τ = 0
t * 1/τ = 1
t = τ
Je größer τ desto größer t.

I ( t ) = t * e^{-t/τ}
Max bei t = τ
I ( τ ) = τ * e^{-τ/τ}
I ( τ ) = τ * e^{-1}
Je größer τ desto größer I.

Alle Angaben ohne Gewähr.
Bin jetzt fernsehen.

Comments

Hallo georgborn,

vielen Dank für die Korrektur und den nachvollziehbaren Rechnungsweg! 

Beste Grüße,

Asterix