Man soll folgenden Grenzwert berechnen

Question

Weißt jemand wie man hier vorgehen muss?

Answer 1

∑ (n = 0 bis ∞) (2·3^{n + 1} + 2^{n + 1})/6^{n + 1}

= ∑ (n = 1 bis ∞) (2·3^n) + 2^n)) / 6^n

= ∑ (n = 1 bis ∞) (2·3^n) / 6^n + 2^n / 6^n

= ∑ (n = 1 bis ∞) (2·(1/2)^n) + (1/3)^n

= ∑ (n = 1 bis ∞) (2·(1/2)^n) + ∑ (n = 1 bis ∞) (1/3)^n

Nutze dann die Formel der Summenformel der Geometrischen Reihe

∑ (n = 0 bis ∞) (a·q^n) = a / (1 - q)

∑ (n = 1 bis ∞) (a·q^n) = a / (1 - q) - a

Ich komme dann auf eine Lösung von 5/2 = 2.5

Answer 2

$$ \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{2*3^{n+l}}{6^{n+l}}+\frac{2^{n+l}}{6^{n+l}}} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{2*3^{n+l}}{6^{n+l}}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+l}}{6^{n+l}}}= 2*(\frac{3}{6})^l\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{3^{n}}{6^{n}}+(\frac{2}{6})^l\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{6^{n}}}$$

Nun hast Du noch zwei geometrische Reihen, da weisst Du bestimmt wie man die ausrechnet. Wichtig ist eigentlich noch, dass man die Reihe nur deshalb auseinander nehmen darf, da sie beide absolut konvergieren. Da weiss ich jedoch nicht ob ihr das hattet.