Rekursive Funktion mittels vollständiger Induktion beweisen, dass f(n) = (n+1)/n

Question

ich soll folgende Aufgabe mittels vollständiger Induktion lösen. Die anderen Aufgaben waren machbar aber hier fehlt mir einfach der Ansatz, ich versteh nichtmal genau, was zu zeigen ist.

Über jede Hilfe wäre ich dankbar.

Es sei \( f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q} \) definiert durch \( f(1)=2 \) und \( f(n+1)=2-\frac{1}{f(n)} \) für \( n \geq 1 . \)
Zeigen Sie, dass für alle \( n \in \mathbb{N} \) die Gleichung
$$ f(n)=\frac{n+1}{n} $$
gilt.

Answer 1

stimmt für n=1

wenn es auch für ein n stimmt, dann

f(n+1) = 2 - 1 / f(n) = 2 - n/(n+1)  =  (2n+2 - n ) ( (n+1) = (n+2) / ( n+1)  Bingo!

Comments

Du hast also einfach für 1/f(n) die IA eingesetzt und dann zusammengefasst?

Also (n+2) / (n+1) sagt mit dann letztendlich, dass es für den Nachfolger stimmt?

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Für  f(n) habe ich die IA eingesetzt.

Also (n+2) / (n+1) sagt mit dann letztendlich, dass es für den Nachfolger stimmt?

Genau !

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Das kommt mir im Nachhinein etwas zu einfach vor.. aber ist ja klar, dass 1/(n+1)/n dasselbe ist wie n/n+1.