Beweise, dass v1 = ( 1, i), v2 =(1-i , 1+i) in V=C^2 linear abhängig sind.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den Vektorraum \( V=\mathbb{C}^{2} \) über \( \mathbb{C} . \) Seien \( v_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ i\end{array}\right) \) und \( v_{2}=\left(\begin{array}{c}1-i \\ 1+i\end{array}\right) \).
Beweisen Sie, dass \( v_{1}, v_{2} \) in \( V \) linear abhängig sind.

Definition. Seien \( U_{1}, U_{2} \) zwei Untervektorräume von \( V \). Wir definieren ihre Summe durch

\( U_{1}+U_{2}:=\left\{v_{1}+v_{2} \mid v_{1} \in U_{1}, v_{2} \in U_{2}\right\} \)

Man kann beweisen, dass \( U_{1}+U_{2} \) ein Untervektorraum von \( V \) ist. Auch ist \( U_{1} \cap U_{2} \) ein Untervektorraum von V.

Answer 1

Wenn v1 und v2 linear abhängig sein sollen muss gelten: v1=r*v2

Jetzt stellst du dir das Gleichungssystem auf (jede Komponente eine Gleichung):

1.Gelichung: 1=r*(1-i)

2.Gleichung: i=r*(1+i)

und jetzt löst du beide Gleichungen nach r auf. Wenn in beiden Gleichungen das gleiche r rauskommt, sind sie linear abhängig:

1. Gleichung: r= 1/(1-i)=(1+i)/2

2.Gleichung: r=i/(1+i)=i(1-i)/2=(i-i^2)/2=(i+1)/2

also sind beide Vektoren linear abhängig.


Ich hoffe das hilft ;)

Answer 2

Du musst hier zeigen, dass der eine Vektor v2 ein komplexes Vielfaches (komplex erlaubt wegen V=C^2) des andern v1 ist.

Wenn du die erste Komponente betrachtest, musst dieser Faktor 1-i sein.

Jetzt muss nur noch überprüft werden, ob das in der 2. Komponente passt.

(1-i)*i = i -(-1) = i+1 ok.

D.h. (1-i)v1 = v2

oder (1-i)v1 - v2 = 0        

D.h. der Nullvektor ist als Linearkombination von v1 und v2 darstellbar. Die Vektoren sind linear abhängig qed.

Anmerkungen:

1. Vektoren oben fett geschrieben.

2. Die Definition für Summe von Untervektorräumen braucht man eigentlich bei dieser Frage (noch) nicht.