Wie berechnet man die Orthonormalbasis von Vektoren mit i?

Question

ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe. Sie lautet folgendermaßen: Gegeben sei

 v1 = (i, 0, 0, 0,)

v2 = (0, 1, 0, −i)

v3 = (−i, 0, 0, 1)

Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis {u1,u2,u3} des Raums V = span{v1,v2,v3} 

Mein Problem ist jetzt, dass ich mit der herkömmlichen Weise Orhonormalbasen zu bestimmen nicht weiter komme. Mal kriege ich eine Orthonormalbasis, bei der durch 0 geteilt wird, mal eine, bei der unter der Wurzel negative Zahlen stehen oder einfach nur sehr krumme Ergebnisse. Kann mir bei dieser Aufgabe bitte jemand helfen?

Comments

> bei der unter der Wurzel negative Zahlen stehen

Was ist denn dieses i, dass da in der Aufgbenstellung auftaucht?

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Du scheinst das falsche Skalarprodukt zu verwenden.

Answer 1

|v1| = 1   passt also     u1=v1

u1*v2 = 0 ist auch erfüllt, aber |v2| = wurzel(2) also für Orthonormalbasis

u2 =  1/wurzel(2)*v2 =  (wurzel(2) / 2) * v2

u3 musst du sowählen das    u3 aus span{v1,v2,v3} ist und

mit u1 und u2 das Skalarprod. 0 bildet und selbst Betrag 1 hat

also erst mal

u₃ ' = v3  - < v3,u2>*u2  - <v3,u1>*u1

       = (−i, 0, 0, 1)   + i*wurzel(2)/ 2 *u2  +  1*u1  =

          ( 0  ;  -0,5 i  ;  0   ;   0,5    )

und der hat den Betrag wurzel(1/2) muss also noch mal wurzel(2) genommen werden,

     gibt     ( 0  ;  -0,5*wurzel(2) i  ;  0   ;   0,5 *wurzel(2)   )  = u3

Comments

Aber ist |v1| nicht = Wurzel(-1)? Weil i²=-1, oder habe ich irgendwas übersehen?

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sorry, ich meinte ||v1||*

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 und müsste bei u3' = v3  - < v3,u2>*u2  - <v3,u1>*u1 

       = (−i, 0, 0, 1)   + i*wurzel(2)/ 2 *u2  +  1*u1 nach dem  i*wurzel(2)/ 2 *u2 nicht ein Minus stehen? Sorry für die vielen Fragen, ich habe noch paar Probleme mit den Vorzeichen

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 |v1| nicht = Wurzel(-1)? Weil i²=-1, oder habe ich irgendwas übersehen?

In C ist es ja immer   wurzel ( z * z_quer )   (also z * den konjugierten)

und der konjugierte zu i ist -i also  i*(-i) = +1

Das andere muss ich erst noch mal schauen.

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 und müsste bei u3' = v3  - < v3,u2>*u2  - <v3,u1>*u1 

       = (−i, 0, 0, 1)   + i*wurzel(2)/ 2 *u2  +  1*u1 nach dem  i*wurzel(2)/ 2 *u2 nicht ein Minus stehen?

<v3,u1> = < (−i, 0, 0, 1), (i, 0, 0, 0,) > = - i * i + 0 + 0 + 0 = - i^2 = - (-1) = 1 und weil vor dem <  > ein
minus ist, bleibt es auch, da hast du recht.
Aber den gleichen Fehler habe ich beim 2. Summanden auch gemacht, da muss auch - vor
und das Ergebnis ist dann auch richtig. Das hatte ich wohl oben vergessen zu korrigieren.
i

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Ja stimmt, aber Wurzel (-1) ist doch nicht 1, oder irre ich mich?

Könnte man vielleicht sagen, dass u1= (1,0,0,0)? Weil |v1| = Wuzel (i²)  ist. Will man jetzt v1 auf die Länge 1 bringen, so muss man (i,0,0,0) * (1/ Wurzel (i²)) rechnen. Das ist doch genauso wie (i,0,0,0) * (1/i)= (1,0,0,0), oder?

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Nein ,  (i, 0, 0, 0,)hat die Länge 1, weil du nicht die Wurzel aus dem

Skalarprodukt mit sich selbst sondern die Wurzel aus dem

Skalarprodukt von (i, 0, 0, 0,) mit seinem konjugierten (- i, 0, 0, 0,)nehmen musst.

Und das ist √(1) = 1 .

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Alles kar, die Vorzeichenfehler habe ich schonmal korrigiert :)

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Achsoo, muss ich dann auch beim Skalarprodukt darauf achten, dass man irgendwas konjugieren muss?

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Du kannst ja mal die Probe machen , wenn du fertig bist:

jeder hat mit jedem anderen das Skalarprod. 0 und alle Länge 1.

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Nur bie der Norm, also der Länge   vektor * konjugierten, sonst wie üblich.

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Weil ich habe mir mal folgende Formel aufgeschrieben: Skalarprodukt (x,y) iist Komplexen Raum C⁴   die Summe von x1*y1, x2*y2, x3*y3, x4*y4, wobei über den y Koordinaten immer ein waagerechter Strich ist. Habe gerade gedacht, dass das alle y konjugiert bedeuten könnte, oder ist damit was anderes gemeint?

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ja hast recht, ich war da grad durcheinander.

Der zweite Faktor muss immer konjugiert werden

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Ok alles klar, danke für die Hilfe! :)