Konvergenz einer Folge im Intervall von x

Question

ich habe ein kleine Frage zu meiner "Herleitung". Und zwar soll ich das größste offene Intervall I⊂ℝ angeben ´, sodass $$\sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ n } }{ n*(n-1) }  } $$ ,konvergiert.

Meine Idee ist es über dass Qutientenkriterium zu bekommen:

$$|\frac { \frac { { x }^{ n+1 } }{ (n+1)*n }  }{ \frac { { x }^{ n } }{ n*(n-1) }  } |=|\frac { { x }^{ n+1 }*n*(n-1) }{ (n+1)*n*{ x }^{ n } } |=|\frac { x*{ n }^{ 2 }-n }{ { n }^{ 2 } } |=|-x|$$

und damit es konvergiert muss ja |-x|<=q und q∈[0,1)

damit ergibt sich ja dass x=(-1,1) ist.

Jetzt meine Frage zum einen bin ich mir nicht so sicher was dass offenen Intervall betrift das es ja bei 1 auch konvergiert ...

Und zum anderen wollte ich wissen ob das was ich gemacht hab reicht um das Intervall festzulegen?(Die Frage stelle ich, daher ich immer wieder Punktabzüge bekomme weil ich meine Antworten nicht vernüftig zeige )

Wäre cool wenn mal eben einer drüber schaut ...

Comments

Guten Tag ,

ich habe eben einen Beitrag zu einer Aufgabe gesehen, die mich auch beschäftig nur ich komme nicht zum den Ansatz habe ih übernommen nur leider komme zum Schluss und ein genauer rechenweg wurde eben nicht mehr gezeigt.....

Ich würde mich freuen wenn mir jemand weiter hilft

Answer 1

erstmal zum Ansatz: Mit dem QK kannst du in der Tat schon mal zeigen, dass der sogenannte Konvergenzradius 1 ist. Das bedeutet, dass die vorliegende (Potenz)reihe für alle \(|x| < 1 \) sicher konvergiert und für \( |x| > 1 \) divergiert. Da du aber mit dem QK keine Aussage für \(|x| = 1\) bekommst musst du also separat nochmal die Fälle \(x=1\) und \(x=(-1)\) prüfen. In beiden Fällen konvergiert die zugehörige Reihe, also ist das gesuchte Intervall \(I = [-1, 1] \).

zu dem was du geschrieben hast:

1. Das letzte Gleichheitszeichen ist falsch. Beim QK untersuchst du einen Grenzwert, Dementsprechend sollte auch deine Notation aussehen (definitiv Punktabzüge).

2. Unbedeutend, aber: Eigentlich sollte bei dir am Ende nur \(|x|\), also ohne Minuszeichen stehen bleiben. Da es aber um den Betrag geht spielt das ja keine Rolle (demnach wahrscheinlich auch keine Punktabzüge), allerdings fragt man sich schon wo auf einmal das Minus herkommt.

Gruß

Comments

ja erstmal zu dem |-x| : da hatte ich nen Vorzeichenfehler eingebaut beim umstellen...

zur Notation : meinst du dass ich die Ausdrücke nicht alle hintereinander mit gleichzeichen schreibe , sonder |......|<=q und dass dann jede Zeile ?

Und vielen Danke fürs helfen (schon wieder :D)

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Nein, wenn du überall noch \(\lim \limits_{n \to \infty} \) dazu schreibst ist das verwenden des Gleichheitszeichen berechtigt. Wenn nicht, dann solltest du am Ende kenntlich machen, dass es nun um einen Grenzwert geht, sprich sowas in der  Art

\(|...| \rightarrow |x| \) für \(n \to \infty\)

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Aber das QK gibt mir doch nicht den Grenzwert an es sagt doch nur ob es konvergiert wenn $$|\frac { { a }_{ k+1 } }{ { a }_{ k } } |\le q\quad und\quad q\epsilon [0,1)$$  , oder täusche ich mich da ?

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Für fast alle \(k \in \mathbb{N}\). Das wird in der Regel mit dem \(\limsup\) ausgedrückt, der sich in diesem Fall auf den \(\lim\) reduziert.

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Achso das war mir nicht klar ... Danke

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Guten Tag ,

ich habe eben einen Beitrag zu einer Aufgabe gesehen, die mich auch beschäftig nur ich komme nicht zum den Ansatz habe ih übernommen nur leider komme zum Schluss und ein genauer rechenweg wurde eben nicht mehr gezeigt.....

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Das steht doch schon alles hier. Du darfst am Ende nicht den Betrag weglassen. Berechne den Grenzwert des letzten Ausdrucks für \(n \to \infty\). Dieser ist \(|x|\). Alles andere wurde schon gesagt.

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Ja die Betragsstriche sind klar aber  (x*(n²-n)/(n²+n) mit n→∞ ist doch nicht x oder?

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Doch tut es ,da du das x von deinem Bruchstrich runter schreiben kannst und nur noch (n²-n)/(n²+1) betrachtest und wenn du nun mit 1/n² erweiterst kommst du auf (1-(1/n))/(1+(1/n)) und für n gegen unendlich folgt darraus 1 ...