Aloha :)
zu a) Über das Monotonieverhalten der Funktion$$f(x)=x^3+6x^2+15x-25$$gibt das Vorzeichen der ersten Ableitung Auskunft:$$f'(x)=3x^2+12x\pink{+15}=(3x^2+12x+\pink{12})\pink{+3}=3\cdot\green{(x^2+4x+4)}+3$$$$\phantom{f'(x)}=3\cdot\underbrace{\green{(x+2)^2}}_{\ge0}+3\ge3$$Da Quadratzahlen nie negativ sind, ist die Ableitung \(\ge3\) für alle \(x\in\mathbb R\), d.h. die Funktion ist auf ganz \(\mathbb R\) streng monoton wachsend.
zu b) Als Polynom ist die Funktion \(f(x)\) stetig über ihrem gesamten Definitionsbereich.
Daher gilt der Zwischenwertsatz, sodass jeder Funktionswert zwischen \(f(0)=-25\) und \(f(2)=37\) für \(x\in(0;2)\) angenommen wird. Insbesondere gibt es also ein \(x_0\in(0;2)\) mit \(f(x_0)=0\).
Da die Funktion nach Teil (a) streng monoton wächst, kann es keine zweite Nullstelle neben dem genannten \(x_0\) geben.
