Beweis Potenzgesetze mit e^x:= E(x) und a^x:= e^{xlna}

Question

ich soll folgende Exponentialgleichungen beweisen. Bei der c) und d) habe ich Schwierigkeiten.

Hier mein Ansatz:

Wäre echt lieb, wenn ihr mir helfen würdet.

Comments

Ich nehme an, die Pointe der Aufgabe soll sein, dass man ausschliesslich mit den explizit genannten Definitionen und Rechenregeln und (sagen wir) den Koeperaxiomen arbeitet, aber sonst nichts verwendet, von dem man meint, man wisse es schon?

Bei c) dann z.B. \(a^x\cdot a^{-x}=E(x\ln a)E(-x\ln a)=1\), also \(a^{-x}=1/a^x\).

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Ich hab hier die Lösung, allerdings verstehe ich das icht ganz. Wäre nett, wenn du die Lösung kommetieren würdest.
Also warum wurde das so und so gemacht?

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Das ist eine Aufgabe nach dem Motto: Wisse, was Du tust. Ausser den Rechenregeln für einen Koerper sollst Du nur die Definitionen aus der Aufgabe und die zwei angegeben Rechenregeln für E verwenden.Gehe wenigstens die Musterloesung durch und gib für jeden Schritt an, was genau da benutzt wird. An sich war es andersrum gedacht, Du haettest die Lösungen selber ausknobeln muessen.

Du kannst auch noch meine Lösung für c) mit der Musterloesung vergleichen und Dir was bei denken.

Answer 1

Das 1. ist doch a^0 = 1 .

Also musst du auf die Def. zurückgehen.  a^0 ist ein Spezialfall von a^x also hier

mit 0 statt x :

a^0 = e ^0*ln(a)   = E(0*ln(a)) = E(0)=1 (vorletzte angegebene Eigenschaft)

oder b)

a^1 = e ^1*ln(a)   =  e ^ln(a)  = a  weil ln(x) die Umkehrfkt. von e^x  ist.

zu c und d hast du ja schon was.