Monotonie von Folgen bestimmen

Question

Hallo...

Ich habe ein Problem was das Monotonieverhalten einer Folge betrifft.

Und zwar ist die Folge dⁿ/n gegeben, wobei d∈(-1,1) ist. Ich soll nun zeigen das es sich um eine Monoton fallende Nullfolge handelt.

Mein Problem ist das ich leider nicht genau weiß wie ich das bei Folgen mache. Bei einer Funktion reicht es doch in der Regel wenn ich mir die 1.Ableitung anschaue aber wie ist das bei Folgen?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Answer 1

Bei der Aufgabenstellung stimmt was nicht. Nimm mal d= - 0,5.

dann ist    d^n / n =   -0,5  für n=1

=  1/8   für n = 2

= - 1 /24  für n=3   etc.

von Monotonie keine Spur.

Ist vielleicht noch irgendwas von d>0 gesagt ???

Comments

Um genau zu sein ist die Aufgabe so gegeben: Gegeben sei eine feste reelle Zahl d ∈ (−1, 1) und die Folge {an} = {an(d)} = dⁿ/n, n ∈ ℕ

Zeigen Sie: {|an(d)|} ist eine streng monoton fallende Nullfolge.

Die eher knappe Lösung dazu wäre:

Strenge Monotonie + Nullfolge folgt aus den Ungleichungen |an+1| = |dⁿ⁺¹/ n+1 < |d|* |d|ⁿ/ n = |d| |an| < |an| <1/n 

Ich verstehe nur das Ergebnis leider nicht bzw. kann ich nur mutmaßen was gemacht wird. Warum ich ΙdΙ*ΙdΙⁿ/n rechne ist mir ein Rätsel.

Ich hoffe du kannst mir jz helfen. Schon mal danke im Voraus.

Lg

---

Aha es geht um den BETRAG von an(d).  Dann ist es was anderes.

Die Musterlösung meint:

|a_n+1| = |dⁿ⁺¹/ (n+1) |  einfach nur eingesetzt

< |dⁿ⁺¹/ n |   wenn man den Nenner kleiner
                               macht, wird ein positiver Bruch größer

Damit man das mit a_n vergleichen kann wird die Potenz
aufgeteilt in d * d^n denn das ist ja gleich dⁿ⁺¹ 

also = |d*dⁿ/ n |  und bei Produkt bzw. Bruch kann man die Beträge
aller Faktoren bzw. von Zähler und Nenner einzeln nehmen. Und
|n| = n weil n positiv.

=  |d|* |d|ⁿ/ n    und  |an| = | d^n / n | = |d^n| / n also

= |d| |an|      und weil |d| < 1 ist gilt

< |an|      

Damit hast du insgesamt  |a_n+1| < |a_n| also ist |a_n| monoton fallend.

Außerdem ist    |an|  =  |d| / n < 1/n   weil der Bruch einen Zähler < 1 hat.

und da natürlich     |an|  ≥ 0 ist ( wegen Betrag)

gilt also   0 ≤  |an|    < 1/n

Also liegt |an| zwischen zwei Termen, die beide eine Nullfolge

beschreiben ( die konstante 0 sowieso und 1/n dürfte bekannt sein als Nullfolge).

Deshalb ist   |an| auch eine Nullfolge.

---

Danke für die Ausführliche Antwort!! Jetzt ist mir die Sache schon viel klarer!

Lg