Topologische Räume und lin. Abbildungen

Question

ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:

Seien (M; Τ_M); (N;Τ_N) topologische Raume und f : M → N eine stetige Abbildung.

a) Man beweise oder widerlege den folgenden Aussagen:
i) Fur jedes off ene U ⊆ M ist f(U) auch off en.
ii) Fur jedes abgeschlossene V ⊆ M ist f(V) auch abgeschlossen.

b)Sei N = ℝ versehen mit der euklidischer Topologie. Man zeige, dass die Menge V = { x ∈ M| f(x) ≤ 0 }
 abgeschlosssen ist

Comments

Was hat das ganze mit linearen Abbildungen zu tun?

Answer 1

a) IR mit der euklidischen Topologie und f : IR ---> IR mit x -----> x^2 ist stetig.

Und das Intervall ] - 1 ; 1 [ ist offen, aber sein Bild  [ o ; 1 [ nicht.

ii) das stimmt wohl . Beweis wohl ähnlich wie bei

b) Damit V abg. ist, muss M \ V offen sein. Sei also x aus M \ V

dann ist f(x) = y  > 0 und also gibt es eine eps-Umgebung  W um y , die nur

Elemente > 0 enthält. Da f stetig ist, gibt es eine Umgebung U um x mit

f(U) ⊂ W, also  f(x) > 0 für alle x aus U.   Also U in   M \ V. Also ist

M \ V   offen und damit   V abg.

Comments

Die zweite Aussage in a) stimmt nicht (wäre ja auch merkwürdig, wenn Bilder abgeschlossener Mengen zwar immer abgeschlossen, aber Bilder offener Mengen im Allgemeinen nicht offen wären).

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Ach ja, man könnte ja z.B. bei IR mit arctan ganz IR ( ist ja abg., weil ∅ offen)

auf ] pi/2 ; pi/2 [   ( das ist offen) abbilden.

Und stetig ist das ja.

Ich glaube nur, wenn die abg. Menge beschränkt ist, dann stimmts.

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Wie definierst du denn Beschränktheit in topologischen Räumen? Dazu brauchst du mindestens metrische Räume.

Du denkst da an den Satz von Heine-Borel: "Eine Teilmenge des \(\mathbb R^n\) (mit der Euklidischen Metrik) ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist."
Und stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt.

Eine stetige Abbildung \(\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) bildet also abgeschlossene beschränkte Mengen auf abgeschlossene (und beschränkte) Mengen ab.

In allgemeinen metrischen Räumen ist aber "abgeschlossen+beschränkt" nicht äquivalent zu "kompakt" (letzteres impliziert ersteres, andersherum nicht). Deswegen ist auch "abgeschlossen+beschränkt" nicht hinreichend für die Abgeschlossenheit des Bildes.
Nimm z.B. die Mengen \([0,2\pi)\) und \(\mathbb S^1:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^2+y^2=1\}\); beide mit der von \(\mathbb R\) bzw. \(\mathbb R^2\) induzierten Teilraumtopologie (beides sind metrische Räume). Dazu die stetige Abbildung \([0,2\pi)\to \mathbb S^1, x\mapsto (\cos(x), \sin(x))\).
Die Menge \([\pi,2\pi)\subseteq [0,2\pi)\) ist abgeschlossen und beschränkt, ihr Bild ist aber in \(\mathbb S^1\) nicht abgeschlossen.

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Danke, jetzt wird es klarer. Ich hatte in der Tat nicht lange darüber nachgedacht.