Lineare Abbildung: Ist Kern im Bild enthalten?

Question

Ist bei einer linearen Abbildung der Kern automatisch eine echte Teilmenge des Bildes der linearen Abbildung?

Answer 1

wenn du eine Abb hast von V nach W.

Dann ist der Kern eine Teilmenge von V und das

Bild eine Teilmenge von W.  Kann also so allg. nicht stimmen.

Comments

Ich habe im konkreten Fall einen Endomorphismus mit V -> V gegeben. Ist es dann der Fall?

---

Es ist doch bei Endom. immer so

V = direkte Summe aus Kern und Bild,

also haben Kern und Bild außer dem Nullvektor nichts gemeinsam.

---

Ich bin grad etwas überfordert...

Dass Kern ∩ Bild = {0} ist, habe ich bewiesen.

Nun lautet meine Aufgabe "Zeigen Sie, dass jedes u ∈ V eine eindeutige Darstellung u = v + w mit v ∈ Kern(Φ) und w ∈ Bild(Φ)". Dabei ist Φ ∶ V → V ein Endomorphismus mit Φ ∘ Φ = Φ.

Da habe ich mir überlegt, ob der Kern(Φ) = {0} ist. Das erscheint mir aber definitiv als falsch, da so die Aufgabe viel zu einfach wäre. Hättest du irgendeinen Tipp (keine Lösung) wie ich an diese Aufgabe rangehen muss?