Beweis. Gegeben: Lineare Abbildung, Potenzen, Kern und Bild Beweis

Question

Dies ist zu beweisen:

Sei V ein n-dimensionaler Vekorraum und φ ∈ Hom ( V, V).

Wir definieren Potenzen von Abbildungen so: φ¹ := φ und φ^m := φ o φ^m-1  ∀ m ∈ ℕ mit m ≥ 2.

Zeigen Sie: ∀ m mit der Eigenschaft m ≥ n gilt folgendes:

ker(φ^m) = ker(φⁿ) und im(φ^m) = im(φⁿ) , wobei "ker", der Kern und "im", das Bild ist.

Ich hoffe es kann mir jemand Helfen. Ich weiß nicht wie ich da vorgehen soll. Habe mir die alles zu Kern und Bild aufgeschrieben, aber dieses Wissen hilft mir Momentan nicht bei dem Beweis. Das mit den Potenzen ist auch nicht gerade Hilfreich. Hat jemand eine Idee, guten Tipp?

Answer 1

Zeige: \( ker( \varphi ^k)=\varphi(\varphi^{k+1} \) für irgendein k folgt \( ker(\varphi^k)=ker(\varphi^l) \forall l \geq k \).
Da \( 0 \subseteq ker(\varphi) \subseteq ker(\varphi^2) \subseteq \ldots \subseteq ker(\varphi^n) \) und dim (V)=n tritt erste Fall für irgendein \( k \leq n \) ein.
Damit folgt automatisch(!) die analoge Aussage für das Bild.