Die Seitenlängen eines Dreiecks

Question

Die Seiten eines Dreiecks verhalten sich wie 4 : 13 : 15. Der Flächeninhalt beträgt 96 cm². Ermitteln Sie die Seitenlängen dieses Dreiecks.

Answer 1

Hallo Anastasija,

man kann folgendermaßen vorgehen (ich befürchte, einfacher geht es nicht :-)) :

1) Berechne mit dem Kosinussatz den Winkel α des Dreiecks Δ₁ mit den Seitenlängen

a₁ = 4 cm, b2= 13 cm und  c₁ = 15 cm:

cos(α) = (b² + c² - a²) / (2 • b • c) ≈ 0,96923   →  α ≈ 14,25°

2) Berechne dann mit der Formel A₁ = 1/2 • b₁ • c₁ • sin(α) den Flächeninhalt A₁ von Δ₁ :

A₁ = 1/2 • 13 cm • 15 cm • sin(14,25°) ≈ 24 cm² 

3) Das gesuchte Dreieck Δ hat die gleichen Seitenverhältnisse wie Δ₁ und ist daher zu diesem ähnlich.

Mit dem Ähnlichkeitsfaktor k gilt dann für seinen Flächeninhalt  A = k² • A₁ = 96 cm².

→  k² = 96 cm² / 24 cm² = 4   →  k = 2

4)  Die gesuchten Seitenlängen betragen also :

a = k • a₁  = 2 • 4 cm  = 8 cm

b = k • b₁ = 2 • 13 cm = 26 cm   

c = k • c₁ = 2 • 15 cm = 30 cm

Gruß Wolfgang

Comments

Etwas einfacher wird's vielleicht, wenn die Formel von Heron zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks mit gegebenen Seiten verwendet wird.

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Schneller! Besser verständlich nur, wenn man die Formel auch verstanden hat.

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Gleiches gilt für die Methode mit dem Kosinussatz.

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Letzterer ist aber "schulisches Allgemeingut", ersterer nicht.