0 Daumen
896 Aufrufe

sitze an folgender Aufgabe und habe Probleme, diese zu lösen.

Sei C0 (ℝ) der ℝ-Vektorraum der stetigen Funktionen auf ganz ℝ.

Beweisen Sie, dass f(x)=sin2x und g(x)=cos2x linear unabhängig sind.


Grüße

Avatar von
Aus \(a\cos 2x+b\cos 2x \equiv0\), d.h. da kommt für alle \(x\) stets null raus, muss \(a=b=0\) folgen.
Wähle \(a\ne0\) und \(b=-a\).
Tippfehler: Es muss natuerlich \(a\cos2x+b\sin2x\equiv0\) heissen.

2 Antworten

0 Daumen

Alles klar :)

Habe noch ein Vorgehen im kopf und weiß nicht genau, ob dass zur Lösung führt.

a*cos2x+bsin2x=0

ableiten und dann obige gleichung von ableitung subtrahieren.

da die daraus resultierende gleichung für alle x gelten muss, also insbesondere für x =0, x=0 einsetzen und a und b bestimmen.

Liege ich damit falsch?

Avatar von
0 Daumen

         a  sin  (  2  x  )  +  b  cos  (  2  x  )  =  0      (  1  )

  
      Setze x = 0 , dann folgt b = 0 Mit x = Pi / 4 folgt a = 0 .

    Das wäre erst mal eine Idee. Ich könnte z.B. auch sagen, ( 1 ) gilt identisch für alle x . Also ist Ableiten erlaubt.



       a  cos  (  2  x  )  -  b  sin  (  2  x  )  =  0     (  2  )



    ( 1;2 ) bilden ein LGS zur Bestimmung von a und b .  Mit Pythagoras ergibt sich seine Deternminante zu ( - 1 )


    
Avatar von

Vielen Dank,

bis zum letzten Schritt kann ich alles nachvollziehen.

Ich habe jetzt also:

a*sin2x+b*cos2x=0

2a*cos2x-2b*sin2x=0


Den letzten Schritt jetzt verstehe ich noch nicht

Die Lehrer halten euch nie dazu an, eure Gleichungen zu kürzen. Bei mir gäbs ja Strafpunkte ohne Ende; wir hatten einen Lehrer, der Punkte abzog, wenn Brüche nicht VOR dem Ausrechnen gekürzt wurden. Genau so sage ich: Bei Gleichungen ist Kürzen wichtiger wie Sortieren; der Faktor 2 in  ( 1.2 ) kommt weg.
  Jetzt meine Frage: Weißt du, was eine ===> Determinante ist oder wenigstens, wie man damit umgeht? Wenn du ganz genau verstehen willst, was Determinanten sind, kann ich dir zu Mindest eine einführende Hilfestellung geben, welche schlauen Bücher du durch arbeiten müsstest.
  Kurz gesagt, kannst du jeder quadratischen Matrix eine Determinantezuordnen; in zwei Dimensionen ist das nichts weiter als der Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. In drei Dimensionen ist es entsprechend das Spatvolumen. Und in 4 711 Dimensionen ist die Determinante schließlich so kompliziert, dass kein normaler Mensch sie mehr einsetzen würde.
   Aus dem Gesagten ergibt sich nun, dass die Determinante dann und nur dann verschwindet, wenn die Vektoren linear abhängig sind - in zwei Dimensionen kollinear, die drei Dimensionen komplanar.
   Aber in zwei und drei Dimensionen gilt noch die ===> Cramersche Regel, wonach



        Determinante  =  Hauptdiagonale  -  Nebendiagonale        (   2.1  )



     Wenn du das so machst in dem LGS  ( 1.1;2 )  dann kriegst du doch



      det  =  sin  *  (  -  sin  )  -  cos  *  cos  =  -  (  sin  ²  +  cos  ²  )  =  (  -  1  )  <  0      (  2.2  )




Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community