Krümmungsverhalten/intervalle bestimmen?

Question

Hallo ich habe die Funktion: f(x)= x(x-2)^3 ; -0,25 ≤ x ≤ 2,75 und soll nun das Krümmungungsverhalten bzw. die Wendepunkte bestimmen. Ich habe dafür berechnet....

f´(x)= 4(x-2)^{2}*(x-0,5)

f´´(x)= 12(x-2)(x-1)

Die Nullstellen der f´´(x) lauten: x₁₌ 1 und x₂=2. Nach der Definition :  f´´(x) < 0 - konkav ;  f´´(x) >0 - konvex , hätte ich beide Werte als konvex bezeichnet , aber in der Lösung steht : -0,25 ≤ x < 1 und 2 <x ≤ 2,75 konvex sowie 1 < x < 2 konkav.

Jetzt habe ich noch eine weitere Definition gefunden :  f´´´(x) < 0 - links-rechtskrümmung ;  f´´´(x) > 0 - rechts-linkskrümmung..

Ich bin irritiert, was muss ich wann anwenden ?

Answer 1

dein f '' ist eine nach oben geöffnete Parabel, also genau zwischen den Nullstellen  negativ.

f ist also dort   (Intervall 1 ≤ x ≤ 2 )   rechtsgekrümmt und damit konkav.

→ linksgekrümmt (konvex)  für  -0,25 ≤ x ≤ 1  und 2 ≤ x ≤ 2,75  

(Die Grenzstellen 1 und 2 zählen zu beiden "Krümmungsarten") 

Vgl. hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen

Gruß Wolfgang

Comments

Worher erkenne ich den dass meine funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist ?
Könntest du mir das näher erläutern ? Und was hat es mit den verschiedenen Definitionen auf sich ?

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Nicht deine Funktion f , sondern f'' ist - wie jede Funktion mit einem Term der Form  a • (x - x₁) (x - x₂)  für positives a -  eine nach oben geöffnete Parabel .

Was die verschiedenen Bezeichnungen angeht: Namen sind Schall und Rauch, man muss sie aber kennen.

Answer 2

Gehen wir doch ganz formell vor
f(x)= x(x-2)³ ; -0,25 ≤ x ≤ 2,75

f ´( x ) = 1 * ( x-2)^3 + x * 3 * ( x-2)^2
f ´( x ) = ( x-2)^2 * (  x - 2 + 3 x )
f ´( x ) = ( x-2)^2 * (  4x - 2 )

f ´´( x ) = 2 * ( x-2) * ( 4x - 2 ) + ( x -2 )^2 * 4
f ´´ ( x ) = ( x -2 ) * ( 2 * ( 4x - 2 ) + ( x - 2 ) * 4 )
f ´´ ( x ) = ( x - 2 ) * ( 8x - 4 + 4x - 8 )
f ´´ ( x ) = ( x - 2 ) * ( 12x - 12 )
f ´´( x ) = 12 *  ( x - 2 ) * ( x - 1 )

Wendepunkte
12 *  ( x - 2 ) * ( x - 1 ) = 0
x = 2
und
x = 1

Linkskrümmung
12 *  ( x - 2 ) * ( x - 1 ) > 0
2 Fälle
1.
( x -2 ) > 0   => x > 2
und
( x -1 ) > 0  => x > 1
Zusammen : x > 2
2.
( x -2 ) < 0   => x < 2
und
( x -1 ) < 0  => x < 1
Zusammen
x < 1

Linkskrümmung bei
( x > 2 ) und ( x < 1 )

~plot~ x * ( x-2)^3 ; {1|-1} ; {2|0}; [ [ -0.25 | 2.75 | -4 | 4 ]] ~plot~