Entwicklungspunkt einer Potenzreihe

Question

weiß jemand, wie ich den Entwiklungspunkt dieser Potenzreihe finde ?$$\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { { k }^{ 2 }({ e }^{ x }+x)^{ k } }{ (k+4)! } }$$

Den Konvergenzradius zubestimmen ist ja kein Problem nur ich weiß noch wie ich das mit der Klammer machen soll ? Eine Idee von mir war es das e^x durch die Summenfunktion zu ersetzen nur ich dabei kann ich auch dann dass x nicht reinziehen ...

Hilfe wäre echt top ....

Comments

Es liegt offensichtlich gar keine Potenzreihe vor, sondern allgemeiner eine Funktionenreihe. Konvergenzradius gibt es nicht. Die Frage, für welche x die Reihe konvergiert, ist allerdings weiterhin sinnvoll und wohl auch zu beantworten.

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wie macht man denn sowas ? ich kann dass x doch quasi nur als einen festen belibigen Wert wählen...? Wie bomme ich dann aufschluss darüber für welche x unsere Reihe konvergiert ???

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Schreibe es als $$\sum_{k=1}^\infty\frac{k^2y^k}{(k+4)!}\Bigg|_{\textstyle y=e^x+x}$$ und denke Dir was bei. Mit Potenzreihen laesst sich hier trotzdem was anfangen.

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$$r=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ |\frac { { k }^{ 2 } }{ (k+4)! } /\frac { (k+1)^{ 2 } }{ (k+5)! } | } \\ r=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ |\frac { { k }^{ 3 }+{ 5k }^{ 2 } }{ { k }^{ 2 }+2k+1 } | } \quad .......\quad r=1\quad für\quad k\rightarrow \infty \\$$

so dann wüsste ich den konvergenzradius . Muss ich den jetzt mit meiner Funktion abgleichen quasi 1=e^x+x ?

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Zuerst ist Dein Ergebnis für r falsch und dann auch die Interpretation desselben. Du kriegst raus, dass die Potenzreihe in y für |y|<r konvergiert. Allerdings ist ja y=e^x+x zu setzen, d.h. es muss |e^x+x|<r sein. Aus dieser Bedingung sind die x, für die die Ausgangsreihe konvergiert, zu bestimmen.

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zweiter Versuch:

$$r=\frac { 1 }{ \lim _{ k\rightarrow \infty }{ |\sqrt [ k ]{ \frac { { k }^{ 2 } }{ (k+4)! } } | } } \\ \\ r=\frac { 1 }{ \lim _{ k\rightarrow \infty }{ |\frac { { k }^{ \frac { 2 }{ k } } }{ { ((k+4)! })^{ \frac { 1 }{ k } } } | } } =\frac { 1 }{ 1 } \quad für\quad k\rightarrow \infty \quad =1$$

kommt zwar wieder 1 raus aber das ist doch auch der einzige Wert, über den ich eine eindeutige Aussage treffen kann für |x+e^x|<r oder nicht ?

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Nur so viel: Wenn $\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{k!}=1$ waere, dann haette die Exponentialreihe einen Konv.radius von 1. Den Rest hab ich Dir schon ausfuehrlich erklaert.

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Ok ich tüfftel mal noch weiter aber vielen dank für die Hilfe !

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dritter und letzter Versuch wenn es jetzt nicht stimmt dann ist es auch egal, dann sind mir die Punkte in der Übung egal .. Also ich hab mir nochmal die e-funktion angeguckt und da ist mir auch mein Fehler von eben klar geworden $$\sqrt [ k ]{ k! }$$ für k→∞ ist ja nunmal +∞ und daher ich ja quasi 1/(1/∞) rechne ist r natürlich unendlich. Sprich selbst in meinem ersten Ansatz hätte mir dass aufallen müssen, dass $$\lim _{ k\rightarrow \infty }{ |\frac { { k }^{ 2 }*(k+5) }{ { k }^{ 2 }+2k+1 } |\quad =\quad \lim _{ k\rightarrow \infty }{ |\frac { 1+\frac { 5 }{ k } }{ \frac { 1 }{ k } +\frac { 2 }{ { k }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { k }^{ 3 } } } |=\quad +\infty \quad für\quad k\rightarrow \infty } }$$ und dann ist es auch |x+e^x|=+∞  und damit konvergiert die Reihe für alle x∈ℝ..... Wenn das wirklich richtig sein sollte, dann kann ich verstehen warum du nicht mehr sagen wolltest ... :D

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dass sollte heißen |e^x+x|<+∞ !

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Stimmen tut's so, die Reihe kovergiert für alle x∈ℝ.

Ob das auch die Aufgabe war, musst Du selber wissen. Es geht weder aus Frage noch Betreff sicher hervor. :)

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Die ganze Aufgabe war es nicht... Es war nur der Teil wo ich nicht weiter kam ... Vielen dank für die Hilfe und vor allem für die Geduld :D