Question

(Poissonscher Grenzwertsatz für negative Binomialverteilungen)

Es sei $$B_{ n,{ p }_{ n } }^{ - }(\left\{ k \right\} )=(\begin{matrix} n+k-1 \\ k \end{matrix}){ p }_{ n }^{ n }(1-{ p }_{ n })^{ n }$$

mit p_n ∈ (0, 1) die Zähldichte der negativen Binomialverteilung, wobei gelte: n(1 − p_n) → λ für n → ∞ für λ ∈ (0, ∞). Zeigen Sie: 

$$B_{ n,{ p }_{ n } }^{ - }(\left\{ k \right\} )$$ → e^-λ(λ^k/k!)

(Hinweis: Benutzen Sie den Stetigkeitssatz für erzeugende Funktionen.)