Vielleicht klappt es ja mit der Determinante.
1) det ( v1 + v2 | v2 | v3 | v4 ) = det ( v1 | v2 | v3 | v4 ) + det ( v2 | v2 | v3 | v4 ) = ( 1a )
= = det ( v1 | v2 | v3 | v4 ) ( 1b )
Die zweite Determinante auf der rechten Seite von ( 1a ) verschwindet in jedem Falle, weil mit v2 eine Doppelnennung vorkommt. Determinante ( 1b ) ist ungleich Null, weil dieses System laut Aufgabenzettel als Basis voraus gesetzt war. Also basis.
Gibt mir wieder mal eine herrliche Gelegenheit zu polemisieren. Bei einem SYSTEM von Vektoren kann es sich unmöglich um eine Menge handeln; denn wir sagten ja, die Doppelnennung in ( 1a ) führt zu linearer Abhängigkeit. Bei der Aufzählung einer Menge sind Doppelnennungen ihrer Elemente aber gar nicht zulässig ===> Kardinalzahl
eine genauere Untersuchung lehrt, dass es sich bei unserem System um eine Zuordnung oder Abbildung handelt von der ===> Ordinalzahl 4 in den |R ^ 4 .
Auch B2 stellt sich nach dem selben Schema als Basis heraus. Dagegen B3 und B4 sind es nicht; hier die Rechnung für B3
det ( v1 | v2 | v1 + v2 | v4 ) = det ( v1 | v2 | v1 | v4 ) + det ( v1 | v2 | v2 | v4 ) = 0 ( 3 )
Jede der beiden Determinanten enthält zwei gleiche Spalten.
